极限存在性证明的几种主要方法_陆永良

年第期 湖 州 职 业 技 术 学 院 学 报 年 月 极限存在性证明的几种主要方法 陆永良，嵇建峰 （ 平湖市城关中学，浙江 平湖 ； 湖州职业技术学院，浙江 湖州 ） 摘要： 极限存在性的证明是学习数学分析的一项基本技能， 它对理解和掌握数学分析的理论和方法是十分重要的。在对分散 于数学分析中的极限存在性证明方法较系统地进行总结的基础上， 给出了九种主要的极限存在性的证明方法。 关键词： 数列； 函数； 极限存在性 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： （ ） ， （ ， ， ； ， ， ） ： ， ： ； ； 极限是数学分析的基本概念之一， 用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。数学分析中的几 乎所有其他概念， 诸如： 连续、 导数、 微分、 定积分、 级数收敛性、 多元函数偏导数、 重积分、 曲线积分、 曲面积 分等， 都直接通过极限理论得以严密化。极限是沟通常量与变量、 有限与无限的桥梁。理解极限的精确定 义， 掌握极限存在性证明的方法都是十分必要的， 它是涉及分析的理论和计算是否可靠的基本问题。 世纪牛顿和莱布尼兹虽然完成了微积分的创立工作， 但由于他们对极限概念还十分模糊， 所以在微积分的 基本理论上存在着明显的不严密性的缺陷， 在逻辑上也有漏洞， 以至于引发了第二次数学危机； 直到 世 纪， 法国的柯西和德国的维尔斯特拉斯等人的工作， 给出了极限、 收敛概念的精确定义， 确立了以极限论为 基础的数学分析体系之后， 才使微积分克服了逻辑上的困难， 并使之建立在严格的理论基础之上。从此， 各种极限问题才有了切实可行的判别准则。 众所周知， 极限在整个微积分学乃至整个数学学科的研究中都占有举足轻重的作用， 几乎都直接或间 接与极限有关。证明极限的存在的方法很多， 本文将把分散于数学分析各章节中的理论和方法较系统地 进行归纳， 并针对证明极限的存在性这个中心问题的常用解题方法进行探讨。 极限存在性证明的几种主要方法 极限存在性的证明是对数列极限和函数极限的存在性运用数学分析的定义和定理证明其收敛。依据 不同的研究方法及所应用的数学工具， 已有的极限存在性证明方法可大致分为九种， 我们分别概述如下。 收稿日期： 基金项目： 湖州市 年度自然科学资金项目（ ） ； 浙江省教育厅 年度科研资助项目（ ） 作者简介： 陆永良（ ） ， 男， 浙江平湖人， 中学一级， 主要从事解析不等式研究； 嵇建峰（ ） ， 男， 浙江湖州人， 湖州职业技术 学院建筑工程分院教师， 主要从事数学教育研究。 利用极限的基本定义证明 定义： 设 是一个数列， 是实数。 如果对任意给定的， 总存在一个正整数， 当时都 有 ， 则称是数列 的极限， 或者称数列 收敛， 且收敛于， 记作 或（ ） ， 这时也称极限存在 。 定义： 设函数（ ） 在点附近（ 但可能除掉点本身） 有定义， 又设是一个定数。 如果对任意给 定的， 一定存在， 使得当 （） 时， 总有（） ， 则称是函数（） 在点的极限， 记作 （）或（）（） ， 这时也称函数（）在点极限存在 。 类似地， 不难给定一元函数的左极限和右极限、 一元函数当自变量趋于无穷大时的极限、 多元函数的 极限的定义。 例 ：试用极限的“ ”定义证明： 证明： 考虑点的一个邻域， 由于在邻域内， 可知 。 对于任给， 要使 ， 只需 ， 即 ， 为此取 ， ， 则当时 ， 便有 即 例 试用极限的“ ”定义证明： 槡 证明： 根据二项式定理， 得到 （ 槡） （ 槡） （ ） ！ （ 槡） （ 槡） （ ） （ 槡） （ ） 因此（ 槡） 即 槡 槡 （ ） 所以， 任给， 要使 槡 ， 只需 槡即 取 ， ， 使得当时， 恒有 槡 ， 从而由极限的定义可知 槡。 利用单调有界数列收敛定理 定理：单调有界数列必有极限 利用单调有界数列收敛定理时， 其难点有时在于单调性的证明， 有时在于估计有界性， 二者都常用数 学归纳法。 例 设 ， ， ， ， 证明数列 收敛。 证明： 依题 ， 设 ， 则 所以由数学归纳 法可知数列 单调增加。 又因为 所以， 数列 有界。 由单调有界数列收敛定理得， 数列收敛。 利用柯西收敛准则 定理： （ 柯西收敛准则） 数列 有极限的充要条件是： 对任意给定的， 有一正整数， 当， 时， 有 例： 设 （ ，） 证明 是发散的。 证明： 根据柯西收敛准则， 只须证明 ， 对 （ 自然数） ，时， 有 ， 在本题中对任意正整数， 取， 有： 于是， 若取 ， 则 ，时有： 因此， 是发散的。 第期 陆永良， 等： 极限存在性证明的几种主要方法 利用数列子列的性质 定理 ： 若 ， 则的任何子列 都收敛， 并且它们的极限也为； 反之， 若在中有 一个子列不收敛， 或有两个子列不收敛于同一极限， 则 发散。 例 ：证明 不存在。 证明： 设 ， 则 （ ） （ 为整数）为的两个子列， 而 ， （ ） ， 所以 不存在。 利用海涅定理判断极限的收敛性 定理 ： （ 海涅定理） （）的充要条件为对任何以为极限的数列 （） ， 都有： （ ） 推论： 若存在两个数列 （） ， （） 且 （） ， （） ， 有（ （） ）， （ （） ）（ ）但， 则（）的极限不存在（ ） 。 例： 证明 不存在。 证明： 取 （ ） ， ， ， 显然，（ ） 且（） ，（）（ ）根据海涅定理的推论， 不存在。 利用上、 下限相等 因为任何有界数列必存在有穷的上、 下限， 而数列收敛的充要条件又是上、 下限相等 ， 所以在已知数 列不具有单调性或不易估计它能否满足柯西收敛准则的条件时， 常常从上极限大于下极限或下极限不小 于上极限入手来证明收敛性； 或者从上、 下极限不相等来证明数列发散。 例 ： 设数列 ， （） ， 使得对一切正整数，成立， 证明数列 槡收敛。 证明： 首先证明数列 槡有界， 再证明 槡 槡 由 得， 槡若有某项， 则易知对一切的正整 数都有， 这时显然收敛， 因此不妨设， 有。 设 槡 ， 则 ， 取子列 槡收敛于 ， 则， 当 时， 槡 ， 而 有 （ ， ） 因为 ， 其中 （ ） 定义， 则 槡 槡 （） ， （ ） 又因为 时，为有正下界的有界量， 所以不等式右端以为极限， 从而有 槡， 由的任意性可得： 槡 槡， 故必有 槡 槡 所以数列 槡收敛。 利用施笃兹定理 定理 ：（ 施笃兹定理） 设整序变量 ， 并且从某一项开始， 在增加时亦增大： ， 则 只须等式右边的极限存在（ 或为 ） 例： 设 （，） ， （） （， ） ， 证明数列是收敛的。 证明： 虽然有 （ ） ， 且因 故 单调递减且有下界 设 ， 易知， 又因为： （） 故根据施笃兹定理， 得： 湖 州 职 业 技 术 学 院 学 报 年 （ ）所以， 数列 收敛。 利用构造法 构造一个新的便于研究的数列， 把它作为桥梁来研究原数列， 这也是数学上常用的方法之一。 例： 设 ， （ ） （， ） ， 证明数列收敛， 并求 。 证明： 设， 则 （， ） 因为： ， 所以： （，）故单调增加且有上界， 所以数列收敛。 因而 （ ）所以 （ ） 结 语 由于极限理论在数学分析中占有十分重要的地位， 极限存在性的证明与方法有许多种， 本文概述的九 种证明方法仅是主要的几种， 绝不是其全部方法。从以上方法中可以看到， 只要灵活地加以综合运用， 就 能有效地解决不同形式的极限存在性证明问题。 参考文献： 陈传璋， 金福临， 朱学炎， 等 数学分析 北京： 高等教育出版社， ： ， ， ， ， ， 刘玉琏， 杨奎元， 吕 凤 数学分析讲义学习指导书 北京： 高等教育出版社， ： ， ， 李心灿， 宋瑞霞， 唐旭晖， 等 高等数学专题十二讲 北京： 化学出版社， ： 菲赫金哥尔茨 微积分学教程（ 第一卷第一分册） 北京： 人民教育出版社， ： （ 上接第 页） 围护监测 （ ） 预应力锚索轴力监测： 按设计剖面设置监测， 每个剖面处的每屋锚杆均设轴力监测。 （ ） 对整个桩锚支护体系进行土体深层位移， 坑外地面沉降等监测， 基坑开挖期间每天测一次， 遇监测 数值过大或变化速率过大应增加监测次数， 直至土方回填后停止监测。 结 语 预应力锚索与钻孔咬合桩结合的桩锚支护体系是充分结合并利用钻孔咬合桩（无缝桩墙） 优异的止水、 挡土性能和预应力锚索优异的抗拔性能的一种新型深基坑支护结构， 特别是对基坑平面较大且周边施工 区域较窄的、 不能设置支撑或设置支撑后机械土方开挖不便的项目比较适用， 可以大大的节缩施工资源， 节省造价， 缩短地下室施工工期， 为深基坑支护结构的发展开辟了新的途径。 参考文献： 陈 争混凝土咬合桩在地铁车站深大基坑中应用研究南