概率-摸球问题

高二复习公开课摸球问题的三种题型及解题方法摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题。由于摸球的方式、球色的搭配及最终考虑的问题不同,其内容可以说是形形色色、千差万别。在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样，但同学们对这一类问题始终不能很好地分析和解答，为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结，以期让同学提高解决这一类问题的能力。下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法。引例：盒中装有大小、重量相同的5个小球，其中白色2个，黑色3个，求下列事件的概率：（1）从中摸出3个小球，恰有一个是白色；（2）连续摸球3次，每次摸一个，摸后不放回，第三次摸到白球；（3）连续摸球三次，每次摸一个，摸后放回，恰有两次摸到白球。总结：以上三个问题，分别代表了摸球问题中常见的三种类型，即（1）一次性摸取：摸球的特点：一次摸够，元素不重复，无顺序。解决的方法：用组合的思想去解决。（2）逐次、每次不放回摸取: 摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序。解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决。（3）逐次、每次有放回摸取: 摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个（种）球每次被摸到的概率都一样。解决方法：独立重复实验某事件恰好发生k次的概率。为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题，我们再通过三个三个例题来加深大家的印象：例1.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。（1）从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（2）采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率。例2.袋中有同样的小球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸一个，当两种颜色的小球都被摸到时，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戏的概率。例3. 袋子中有若干个均匀的小球，其中红球5个，白球10个。从袋中有放回地摸球，每次摸一个，有3次摸到红球即停止。求恰好摸5次停止的概率是多少？总结：（1）解决此类问题，审题时注意看是否有“放回”、“不放回”、逐次（或逐个）”等关键词，借助于它们可以辨别该问题属于哪一类题型，若没有这些词汇更要注意正确理解题意，以便采取恰当的解题思想和方法。（2）排列组合是解决摸球问题的基本功，应在平时复习中加强排列组合问题的解题能力。例4袋中有10个球,其中7个红球3个白球, ,则（1）从中取2个，先摸到红球，后摸到白球的概率是 （2）从中取2个，后一个摸到的是红球的概率是例5. 已知盒中装有3只螺口与7支卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则(1) 他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为;(2) 他三次内取得卡口灯泡的概率为例6 :（山东卷）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：()抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；()抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率； ()抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为所以例7某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖现有甲