概率论计算题

计算题：1 . 三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为,求(1)将此密码译出的概率, (2)恰好有一个人译出此密码的概率.解.：设,则 (1) (6分)(2) (8分) (10分) (12分) 2 . 已知随机变量X的分布律为X-1 0 1 2P0.1 0.2 0.3 0.4令，求：（1）Y的分布律；（2）E（Y）。解：（1）P0.10.20.30.4 X-1012 Y-11-11故Y的分布分律为 Y-11P0.40.6 从而E(Y)=(-1)*0.4+1*0.6=0.2 3 . 设的概率密度为：（1）试求关于和的边缘分布密度，（2）问和是否相互独立(需说明理由).解： (3分) （为什么等于二分之一x而不是二分之三x？） (6分)（这里dy应该是dx）从而: (12分)4 . 设随机变量X和Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求D（X+Y）及D（X-Y）.解：D(X+Y)=DX+DY+ (6分) D(X-Y)=DX+DY- (12分)5 . 设总体X具有概率密度f(x)=为来自总体X的容量为n的样本，求的极大似然估计.解： (4分) (8分) (12分)1 . 两门高射炮对一架敌机一齐各发一炮，它们的命中率分别为20，30。求：(1)敌机至少中一弹的概率；(2)敌机恰中一弹的概率解.设,则(1) (6分) (2) (12分)2 . 某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽。设X表示耗用的子弹数。求：（1）X的分布列；（2）E（X）解： X的可能取值为1,2,3,于是 (6分)从而X的分布列为 X123P2/32/91/9 从而EX=13/9 (12分)3 . 设随机向量(X，Y)概率密度为f(x,y)= 求(1)关于边缘概率密度fX(x),fY(y) (2)概率PY解： (3分) （这里应该是dx） (6分) （不理解） (12分)4. 两个相互独立的均匀分布的随机 变量，的分布密度分别为： ，求的概率密度.解： (6分) (12分)5 . 设总体X服从二项分布：，其中是未知参数，是总体X的样本。求参数的极大似然估计量。解： (4分) (8分) (12分)1 . 在房间里有5个人，分别佩戴从1号到5号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小号码为2的概率；（2）求最大号码为5的概率。 解：(1) 设X表示选出的3人中的最小号码,则 (6分)(2) 设Y表示选出的3人中的最大号码,则 (12分)2 . 已知随机变量X的分布律为X-1 0 1 2P0.1 0.2 0.3 0.4令，求：（1）Y的分布律；（2）E（Y）。解：P0.10.20.30.4X-1012Y-11-11故Y的分布分律为 (6分) Y-11P0.40.6 (8分) 从而E(Y)=(-1)*0.4+1*0.6=0.2 (12分)3 . 随机变量（X，Y）的联合概率密度为 求(1)关于X、Y的边缘分布密度;(2) 问X、Y是否相互独立(需说明理由)解：（1） (2分) 同理 、 (2)由上知: 4 . 设随机变量的分布密度为，试求的分布函数和分布密度.解： 故,从而由 5 .设随机变量（X，Y）具有概率密度f(x，y)= 求Cov（X，Y）.解： 1 . 某年级有10名大学生是1986年出生的，试求这10名大学生中（1）至少有两人是同一天生日的概率；（2）至少有一人在十月一日过生日的概率.解： (1) (6分)(2) (12分)2 . 设每次射击击中目标的概率为0.001. 如果射击5000次，试求击中两次或两次以上的概率.( )解： 或p=0.001, n=5000 np=5= 用泊松分布近似代替 (12分)所以 P=1-=1-0.006738-0.033690=0.9595723 . 设随机变量（X、Y）的分布密度为 求(1)常数; (2)关于的边缘分布密度（3）P（X+Y1）解:(1) (4分)(2) (6分) (8分)（3） (12分)4 . 设随机变量X的概率密度为f（x）= ，试求数学期望E（X）及方差D（X）.解： (4分) (8分) (12分)5. 设总体X的概率密度为，其中是未知参数，是总体X的样本。求参数的极大似然估计量。解： (4分) (8分) (12分)1 . 一个盒中装有2枚伍分，3枚贰分，5枚壹分的均匀硬币，现从中任取5枚，问总值超过一角的概率是多少？ 解：(1) 取2个五分币,其余的3个可任取,其种数为: (4分) (2)取1个五分币,二分币至少要取2个,其种数 : (8分)故有利于事件发生的基本事件总数为:+=126. (10分)故: (12分)2 . 袋中有5只球，分别编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3只球，以X表示取出的3只球中的最小号码。求：（1）X的分布律；（2）E（X）解：1. X=1,2,3 (2分) (4分) (6分) 故所求的分布律为: X123P0.60.30.1从而E(X)=1*0.6+2*0.3+3*0.1=1.5 3 . 设(X，Y)的概率密度为 f(x,y)= (1)求边缘概率密度fX(x),fY(y) (2)问X、Y是否相互独立(需说明理由)(3)求概率PYX/3解： (1) ,从而X的边缘概率密度为: (2) 由(1)知: (8分)(3) (12分)4 . 设随机变量的分布密度为，试求的分布函数和分布密度.解： (5分) (7分)故,从而由 (8分) (12分)5 . 设为总体的一个样本,的密度函数为求参数的极大似然估计与矩法估计量. 解： (2分) (4分) (6分) 矩法估计如下: (9分) 用 (12分)1 . 甲、乙两艘油轮驶向一个不能同时停泊两艘油轮的码头，它们都将在某日8时至20时抵达码头. 甲轮卸完油要一小时，乙轮要两小时. 假设每艘油轮在8时至20时的每一时刻抵达 码头的可能性相同.(1).求甲、乙两轮都不需等候空出码头的概率.(2).设表示甲、乙同一时刻抵达码头，问是否是不可能事件，并求.解：1. 设x,y分别表甲、乙油轮到达时刻 (1) 不需等候条件 (6分) y 12y=x+1 y=x-2 1 0 2 12 x (2) A发生的条件为x=y故所求的概率为 (12分) 2 . 从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1/3设X为途中遇到的红灯次数，（1）求随机变量X的分布律 (2)求概率p1X0解：X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6 (2分) (5分) (8分) (12分)3 . 设随机变量（X、Y）的分布密度为 求(1)常数; (2)关于的边缘分布密度；（3）P（X+Y1）.解： (1) (4分)(2) (6分) (8分)（3） (12分)4 . 设随机变量X和Y的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求D（X+Y）及D（X-Y）.解：D(X+Y)=DX+DY+ (6分) D(X-Y)=DX+DY- (12分)5 . 求总体的容量分别为10，15的两独立样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.( )解：5 ，因为X与Y独立，故即 (4分)从而所求概率为 、 (10分) 1 . 某大学的全体男生中，有60%的人爱好踢足球，50%的人爱好打篮球，30%的人两项运动都爱好，求该校全体男生中：(1) 踢足球或打篮球至少爱好一项运动的概率有多大？(2) 不爱好踢足球，也不爱好打篮球的概率有多大？解：令A=“爱好踢足球者”，B=“爱好打篮球者”，则P（A）=0.6,P（B）=0.5,P（AB）=0.3. （.4分）(1) 由公式P（AB）=P（A）+P（B）P（AB）可得所求概率为80%.(4分) (2) P()=1-P（AB）=20%. . (4分)2 . 对一台仪器进行重复测试，直到发生故障为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为0.1，X表示测试次数.求：（1）X的分布列； （2）E（X）.解：（1）P（X=k）=0.90.1; (6分) (2) E(X)=1. (6分)3 . 设二维随机变量的概率密度为.（套路一样，记答案）(1).试确定常数；(2).求边缘概率密度;（3）P（X+Y1）.解：1. .(1)首先指出=1. . (1分).C=1. (1分)解出C=21/4 . (2分).(2)=. (1分) 解出 (-1x1); (1分)=. (1分)解出 (0y1). . (1分)(3) P（X+Y1）=. (2分)最后计算得-+-. (2分)4. 设某公司有100件产品进行拍卖，每件产品的成交价为服从正态分布N(1000,100)的随机变量，求这100件产品的总成交价不低于9.9万元的概率。（）解：设第i件产品的成交价为,则N(1000,1002)，i=1,2,100 （2分） 由于（ i=1,2,100）相互独立,总成交价， （6分）故有 （12分）故总成交价不低于9.9万元的概率为84.13%5 . 设总体X服从几何分布：，其中是未知参数，是总体X的样本.求参数的极大似然估计量.解：似然函数L（）=. . (4分)对数似然函数lnL=nlnp+()ln(1-p). . (4分)由=0解出=. . (4分)1 . 由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为，刮风（用B表示）的概率为，既刮风又下雨的概率为. 求: ，.解：1. (4分) (4分) (4分) （ 每个公式正确2分，相应计算正确2分）2 . 已知随机变量X的分布律为X-1 0 1 2P0.1 0.2 0.3 0.4令，求：（1）Y的分布律；（2）E（Y）.解：2.(1) X-1 0 1 2X1 0 1 4P0.1 0.2 0.3 0.4Y=X0 1 4P0.2 0.4 0.4(2) E(Y)=10.440.42. 3 . 设随机变量(X，Y)的联合分布密度为 求(1) 关于X、Y的边缘分布密度; (2) 问X、Y是否相互独立(需说明理由).解：3. (1) 首先，我们指出k=2. .(2分), .(4分) .(4分)（2） 明显地，f(x,y)f(x)f(y). 所以X、Y不独立 4 . 设某单位有200台电话机，每台电话大约有5%的时间要使用外线通话，若每台电话是否使用外线是相互独立的，问该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用.解：用X表示第i台电话机的使用情况. (X=1)=“第i台电话机使用外线”, (X=0)=“第i台电话机没有使用外线”.则Xb(1,0.05),(i=1,2,3,200). .(2分)设至少需要n条外线才能满足要求，则：， .(2分)应用中心极限定理：=, .(4分)由90%得：, .由 解得n13.976,取n=14.即至少需要安装14条外线. .(4分). 5 . 从总体中随机抽取一容量为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8之间的概率. （(1.714)=0.9564, (1.143)=0.8729.）（根本不会）1 . 一批产品20件，其中3件次品. 任取10件，求:(1)其中恰有一件次品的概率；（2）至少有一件次品的概率.解：1. (1) 所求概率为;其中C=“所有取法总数”.(3分)，“恰有一件次品”的取法总数. (3分) (2)1-. 其中=“全是正品” (4分) . 结果正确2分.2 . 某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽.设X表示耗用的子弹数.求：（1）X的分布列；（2）E（X）.解：2. (1) P(X=1)=2/3(2分), P(X=2)=2/9(2分), P(X=3)=1/9(2分). (2) E(X)=12/3+22/9+31/9(4分) E(X) =13/9. (2分).3 . 设随机变量的分布函数为, .求:(1)与；(2)；（3）随机变量的概率密度函数.解：(1) 由=1得,A+B/2=1； . (1.5分).由=0得A- B/2=0. . (1.5分).解得 A=1/2, B=1/. . (1分). (2)= 1/2+1/. (1分) ; P（-1X1 ）=F（1）-F（-1）=1/2. (3分). (3) =. (4分).4 . 随机变量（X，Y）的联合概率密度为 求(1)关于X、Y的边缘分布密度;(2) 问X、Y是否相互独立(需说明理由).解：4. (1) p(x)=. . (4分)=(1+x)/4. . (2分). P(y)=. . (4分) =(1+y)/4. . (2分).(2) P(x)P(y)=(1+x)(1+y)/16,明显地不等于P(x,y),故不独立 (6分).5 . 设总体X的概率密度为，其中是未知参数，是总体X的样本.求参数的极大似然估计量.解：4. 似然函数L（）= . . (4分).对数似然函数lnL= . (4分).解方程=0得：. (4分).1 . 两门高射炮对一架敌机一齐各发一炮，它们的命中率分别为20，30.求(1)敌机至少中一弹的概率; (2)敌机恰中一弹的概率.解：1. 令A=“第一门炮命中敌机”， B=“第二门炮命中敌机”.则P（A）=0.2,P(B)=0.3. .(2分)(1) AB=“至少中一弹” P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B)- P(A) P(B) =0.46.(5分)(2) “敌机恰中一弹”=+, P(+)=P()+P()=+=0.38.(5分)2 . 已知随机变量X的分布律为X-1012P0.10.20.30.4令，求：（1）Y的分布律；（2）E（Y）.解：1. (1) X-1012cosX-11-11P0.10.20.30.4Y=cosX-11 P0.40.6 .(4分) .(4分)(2)E(Y)=10.410.60.2. 3 . 设为上的均匀分布，求：(1)关于X、Y的边缘分布密度;(2) 问X、Y是否相互独立(需说明理由).2. (X,Y)U(G), 密度函数f(x,y)=, (x,y)G. (2分)(1)=, -2x2; (4分)类似可得, -2y2; (4分) (2)明显地有，故不独立. . (2分)4 . 从一个装有m个白球，n个黑球的袋子中有返回地摸球直至摸到白球为止求已取出黑球数的数学期望解：令X=“已取出的黑球数”，P（X=k）=, k=