概率论练习二答案

概率统计第二章习题课 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院2 X-1 0 1 P -0.5 0.9 0.6 习题二 X0 1 2 P 0.6 0.1 0.15 1.是否分布列？ 否 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院3 的分布列。求只球中的最大号码数，表示取出的用 只球，在袋中同时取只球，编号为袋中有 XX3 3. 5 , 4 , 3 , 2 , 15. 2 10 6 1 )4 , 3 , 2 , 1,5()5( 10 3 1 )3 , 2 , 1,4()4( 10 1 1 )2 , 1,3()3( 3 5 2 4 3 5 2 3 3 5 2 2 C C PXP C C PXP C C PXP 中任取两球再在号一球为 中任取两球再在号一球为 号两球为号一球为 10 6 10 3 10 1 543 P X 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院4 3.设在15只零件中有3只是次品，在其中 不放回取4次，每次任取一只，以 X 表示 取出次品的只数，求 X 的分布律. . 3 , 2 , 1 , 0,)( 4 15 4 123 k C CC kXP kk 超几何分布 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院5 解解: 依据概率函数的性质依据概率函数的性质: k kXP1)( P(X =k)0, 1a 4.设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为： (1)(),1,2, (2)(),1,2, 2k a P XkkN N a P Xkk 试确定常数试确定常数a . 1a 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院6 几何分布几何分布 ,2, 1,)1 ()( 1 kppkXP k 5.设每次试验成功的概率为, 求首次成功 所需试验次数X的分布律及X取偶数的概率。 43 ,2, 1,) 4 1 ( 4 3 )( 1 kkXP k 5 1 14 3 )2()( 16 1 4 1 1 nXPXP n 取偶数 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院7 7.已知零件的次品率为已知零件的次品率为0.1，现从中任取，现从中任取20个， 求 个， 求:(1)恰有恰有3个次品的概率；个次品的概率； (2)至少有至少有3个次品的概率；个次品的概率； (3)次品数的最可能值次品数的最可能值. 令令X 表示次品数表示次品数, 则则 X B(20,0.1) k = ( n + 1)p =2 1733 20 )9 . 0() 1 . 0()3(CXP )2() 1()0(1)() 3( 20 3 XPXPXPkXPXP k 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院8 第第8，9，10，11都是二项分布 的题目，其中后两题可以使用泊松 近似简化计算，我们重点讲解第 都是二项分布 的题目，其中后两题可以使用泊松 近似简化计算，我们重点讲解第10 题。题。 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院9 解解 设需要配备 N 个维修工人, 设 X 为同时发生故障的设备台数， 则 X B( 100, 0.01) 10.设同类型设备100台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 一台设 备发生故障可由一个人维修. 问至少要配备 多少维修工人，才能保证当设备发生故障时 不能及时维修的概率小于0.01? 泊松近似泊松近似 100 100 100 1 ()(0.01) (0.99)0.01 kkk k N P XNC 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院10 101.0100 01. 0 ! 1 )( 1 1 Nk k k eNXP 查附表3得N+1=5 N = 4 至少要配备4名维修工人 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院11 12.电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4 的泊松分布，求 （ 的泊松分布，求 （1）每分钟恰有）每分钟恰有8次呼唤的概率次呼唤的概率; （2）每分钟的呼唤次数大于）每分钟的呼唤次数大于10的概率。的概率。 029770. 0 ! 8 4 )8( 4 8 eXP P (X10)=P (X 11)=0.002840（查表计算） （查= 4泊松分布表） P ( X= 8 )= P (X 8)P (X 9) = 0.0511340.021363=0.029771 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院12 2 0 ( )( ), 0,( )0 01,( )2; 1,( )1 x x F xf t dt xF x xF xtdtx xF x 当时 当时 当时 )()4( );()(,)3( )7 . 03 . 0()2( (1) , 0 10, )( .13 xF aXPaXPa XP c xcx xf X 分布函数 ； ；求： 其它 的分布密度为设随机变量 21)( cdxxf得 4 . 0)( 7 . 0 3 . 0 dxxf 2 1 2 1 )(1)()(aaXPaXPaXP 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院13 . ) 2 1 |(| , 0 1, 1 )( .15 2 XPc x x c xf X 及求 其他 的密度函数为随机变量 3 1 arcsin 1 1 11 ) 2 1 |(| 1) 22 (arcsin 1 )( , 1)( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 12 xdx x XP cxcdx x c dxxf dxxf 故因为 1 c 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院14 0, 0 0,e )( )( x x xFxf x ).1(,)4()2( );() 1 ( 0, 0 0,1 )( .16 XPXP xfX x xe xF X x 的分布密度求 的分布函数为已知随机变量 ) 1 (1) 1(1) 1( )4()4( FXPXP FXP 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院15 21. 某机器生产的螺栓长度（某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为）服从参数为 =10.05，=0.06的正态分布。规定长度在范 围 的正态分布。规定长度在范 围10.050.12内为合格品，求一螺栓为不合格 的概率是多少？ 内为合格品，求一螺栓为不合格 的概率是多少？ 06. 0 05.10)12. 005.10( 06. 0 05.10)12. 005.10( 1 =1 (2) (2) =10.97720.0228 =0.0456 设螺栓长度为设螺栓长度为X P(X不属于不属于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12 X 10.05+0.12) 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院16 4040 160120160200 80. 0 40 1 40 9 . 0 40 25.31 281. 1 40 281. 1 40 22. 一工厂生产的电子管的寿命一工厂生产的电子管的寿命X（小时）服 从参数为 （小时）服 从参数为=160，(未知未知)的正态分布，若要 求 的正态分布，若要 求P (120 X 200)=0.8，允许，允许最大为多少？最大为多少？ P (120 X200) 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院17 24.(3,4) ()() XNc P XcP Xc 设，求常数 ，使 1)()(cXPcXP 2 1 )()(cXPcXP 2 1 )(XP3c 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院18 26*.若随机变量若随机变量X服从几何分布，证：服从几何分布，证： , 2 , 1kppkXP k 1 )1 ()( )()|(kXPnXknXP )( )( )( )|( 1 1 1 1 kXPpq qp pq nXP knXP nXknXP k nk k kn 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院19 . ,.: 2 . 7*k p np 若每只母鸡产 个蛋的概率服从参数为 的泊松 分布 而每个蛋能孵化成小鸡的概率为试证 每只 母鸡有 只小鸡的概率服从参数为的松泊分布 1 1 (1) ,. ()()(|) (1) (|1) ee !(1)! ()() ee ! nn nnn n nn qp XY P YnP Xn P Yn Xn P XnP Yn Xn pCpq nn pp nn 设蛋数小鸡数 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院20 2 28. 21012 0.10.20.250.250.2 21. X X P YXYX 设的分布列为 试求和的分布列 2 . 025. 025. 02 . 01 . 0 5311312 P XY 3 . 045. 025. 0 410 2 P XY 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院21 29.设随机变量设随机变量X在在0, 1上服从均匀分布， 求 上服从均匀分布， 求Y=- -2lnX的概率密度的概率密度. 解 在区间解 在区间(0,1)上上,函数函数lnx0, 0 2 x y 于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数 2/ )( y eyhx 由前述定理得由前述定理得 其它, 0 10, )( )( )( 2/ 2/ 2/y y y X Y e dy ed ef yf 注意取 绝对值 注意取 绝对值 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院22 其它, 0 10, )( )( )( 2/ 2/ 2/y y y X Y e dy ed ef yf 其它, 0 10, 1 )( x xfX 已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布， 代入的表达式中 上服从均匀分布， 代入的表达式中)(yfY 其它, , )( / 0 0 2 1 2 ye yf y Y 得 即 得 即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布. 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院23 30.设随机变量设随机变量X在在0, 6上服从均匀分布， 求 上服从均匀分布， 求Y=|X - -3|的概率密度的概率密度. 3 3 ( )(|3|)(33) 1 ,(03) 63 ( )0,(0); ( )1,(3) 1 ,03 ( )( )3 0, Y y y Y Y YY FyPXyPyXy y dxy Fyy Fyy y fyFy 解 其它 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院24 ( )(1)/2xh yy ？ 1 4 1 ( ) ( ) ( ) 41 y YX fyf h y h ye y 12 2 xy不严格单调！不严格单调！ 2 31.(0,1),: (1)21; (2)|. XN YX YX 设随机变量求 的概率密度函数 的概率密度函数 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院25 其它 ）（ 解 , 0 1,e ) 1(2 1 )()( ) 1( ,)() 2 1 |(| )12()(.1 2 1 )( 4 1 2 1 2 1 2 2 2 y y yFyf ydxx y XP yXPyF ex y YY y y Y x 第2章 随机变量及其分布计算机科学与技术学院26 0, 0 0,e 2 )( )0(),(