欧几里得几何学的公理体系

欧几里得几何学的公理体系. 欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是“丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid原本把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个原本中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为几何原本. （“几何”来自“geo”的音译）几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中. “数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何问题. 于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学的进一步发展，就是射影几何学. 十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理. 在维向量空间建立后，几何体系就综合成了维欧几里得几何、维射影几何、维非欧几何. 把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是“埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为由一个点集组成的“空间”，以及“由到的变换群”所确定的，研究的子集（图形）性质中对于来说不变的性质，这就是几何学. 在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世瞩目. 欧几里得几何学：以平行公理为基础的几何学，其公理体系的核心是：“第五共设”两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一侧的两个角（同旁内角）之和小于两直角时，此两条直线必在此侧相交. 它等价于过不在直线上的点且平行于的直线有且仅有一条. 最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到空间的直观性. 但是，直观性有时缺乏客观性，必须明确规定公理、定义，排出直观，建立纯粹的、合乎逻辑的几何学思想. 几何原本已经从事建立公理、定义的工作，但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备. 19世纪后半叶，D.Hilbert（就是在1900年世界数学家大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学家，这23个问题推动了20世纪数学的快速发展）公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、更加完善的几何公理体系. 欧几里得几何原本的简单介绍 全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的. 第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；第3卷：关于圆的定理；第4卷：圆的内接与外切多边形定理；第6卷：相似理论；第11、12、13卷：立体几何. 几何原本是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统. 开始给出了23个定义. 前6个定义是：（1）点没有大小； （2）线有长度没有宽度； （3）线的界是点； （4）直线上的点是同样放置的； （5）面只有长度没有宽度； （6）面的界是线. 其次是5个共设： （1）从任一点到另一点可以引一直线；（2）有限直线可以无限延长； （3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆； （4）所有直角都相等；（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交. 然后是5个公理：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量其和相等； （3）等量减等量其差相等；（4）可重合的图形全等； （5）全体大于部分. 公理之后是一些重要的命题. 要强调两点 1、 “第五共设”等价于“平行公理”：2、欧几里得的几何原本有许多缺点，例如几何逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观，等等. 然而，从辩证唯物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的著作. 19世纪末，德国数学家D.Hilbert于1899年发表了著名的几何基础，成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，称为著名的Hilbert公理体系. 希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理. 由此五组公理，可以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系. 希尔伯特几何基础的简单介绍 希尔伯特公理体系：一、结合公理 （incidence axioms） 结合性叙述了点、线、面位置关系，叙述为“在上”或“通过”. （1） 对于两点、，存在通过、的直线；（2） 当两点、不相同时，通过此两点的直线是唯一的；（3） 每条直线上至少有两个点；至少存在三个点不在同一条直线上；（4） 对于不在同一条直线上的三点、，存在通过这三点的唯一的一个平面； （5） 每个平面上至少有一个点；（6） 若直线上有两点在平面上，则直线上的每一点都在平面上；（7） 若两平面、通过一点，则它们必通过另一点；（8） 至少存在4个点不在同一个平面上. 二、顺序公理（order axioms）顺序性确定了几何元素的顺序关系，叙述为“在之间”. （1） 若、在同一直线上，且“点在与之间”，则“在与之间”；（2） 对于不同的两点、，在通过它们的直线上至少存在一点，使得在与之间；（3） 对于在一条直线上的三点、中，至多有一点在另两点之间；（亦即，若在、之间，则不可能在、之间；由以上三条，由此得到： 在直线上的点可以赋予线性的序； 在直线上，可以定义线段，以、为端点的线段记为或；定义线段的内部，外部）（4） 设、是不在同一直线上的三点， 是通过三点的平面，也记为，是平面上的直线，但不通过、中的任何一点.若直线通过线段上的点，则或通过线段上的一点，或通过线段上的一点；（Pasch，帕施公理）. 三、合同公理（congruence axioms）合同性确定了线段或角的合同关系，叙述为“合同于”或“等于”. （1） 如果两点、在直线上，点在同一条或另一条直线上，则直线上的点的一侧存在点，使得线段“合同”于，记为； （2） 线段的合同关系是一个等价关系； ；、 ；（3） 设、是直线上的两线段，没有公共内点，又设、是直线（与可同，或不同）上的两线段，也没有公共内点. 若、，则； （4） 设平面上有一个角，又在平面（与可同，或不同）上有一条直线，并且指定了平面被直线分为两侧. 取直线上的一点，并从出发、在直线上引射线，则在平面的该侧上，有且仅有一条射线，使得角合同与角，记为 ； （5） 角的合同关系也是等价关系. 【注】 角的定义：设平面上通过同一点的两不同直线为、. 由点出发，分别在与上引两条射线，记为、. 将这一对射线的所决定的集合称为平面上的角，记为或；若、分别为射线与射线上的点，也记此角为. 称为角的顶点；射线、称为角的边. 角的合同关系用几何语言叙述为： 设是平面上的角，是平面上的直线（与可同、可不同）；过上的一点，作上一射线. 则在上必存在过的唯一一条射线，使得. 角的合同关系是一个等价关系； 设、与、分别为不在一直线上的三点，如果有、，则必有. 四、平行公理（parallel axioms）平行公理确定了直线的平行关系，叙述为“平行于”. 对于任意直线与不在上的一点，则在与确定的平面上，有且仅有一条直线通过点且不与直线相交. 五、连续公理（continuity axioms）（1） 对于任意两线段、，在通过线段的直线上，存在有限多个点、，使得、都合同于线段，并且使得“在与之间”（阿基米德公理（Archimedes）；或称直线的连续性公理）；（2） 一直线上的点的集合，在保持结合公理的（2），顺序公理的（2），合同公理的（1）-（5）与连续公理的（1）的条件下，不可能再扩充 ；（直线的完备性公理）.由Hilbert建立的五个公理体系可以推得欧几里得几何的全部内容. 平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将平行公理改为罗巴切夫斯基公理，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容. 数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性. 仿射几何 （一） 维仿射空间：设是一个维线性空间，是一个集合，中的元素称为“点”，如果中的两点、对应于中的唯一的向量，满足：（1） 等于中的零向量；（2） 任给中一点，任给中的向量，则在中存在唯一的点，使得；（3） 对于中的三点、，有等式；则称为一个维仿射空间；特别地，时，称为仿射直线；时，称为仿射平面；时，称为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向量. 仿射直线、仿射平面、仿射空间的实际例子：对于一维、二维、三维欧氏空间，若不使用欧氏距离，仅仅视为集合，则它们分别是一维仿射直线、二维仿射平面、三维仿射空间. （二） 仿射几何学： 主要研究仿射空间中的图形在仿射变换下不变的几何性质. 如共线性、平行性、单比，等. 三维仿射空间中的仿射坐标系： 设、是三维仿射空间中三个不共面的向量，称它们为中的一组基. 可以证明，空间中的任意向量，可用基、表示，把有序实数称为向量的仿射坐标. 空间中的一个点与一组基，合在一起称为空间的一个仿射坐标系（也称为仿射标架）. 也常用记号. 仿射坐标系中的、只需不共面，不必相互垂直. 若两两互相垂直，则仿射坐标系就是直角坐标系. 仿射变换： 设仿射空间中有两组仿射坐标系、，点在仿射坐标系中的坐标为，在中的坐标为， 到的点的仿射坐标变换公式：设点在、中的坐标分别为、，则； 到的向量的仿射坐标变换公式：设向量在、中的坐标分别为、，则.射影几何 （一） 射影平面、射影空间在仿射平面、仿射空间中，引进无穷远点，则称它们为扩大了的仿射平面、扩大了的仿射空间. 在扩大了的射影平面、射影空间中，若将原有的点与引进的无穷远点不加区别，得到的平面、空间就称为射影平面、射影空间. 在射影空间中，任意两条直线必定相交（平行直线相交于无穷远点）、任意两个平