概率论与数理统计试题及答案

考试时间 120 分钟班级 姓名 学号 题号一二(1)二(2)二(3)二(4)二(5)三四五总分成绩成绩评卷人一. 填空题（每题3分，共24分）1设 A、B为随机事件，.则 .2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是= .3. 设随机变量，则的分布密度函数为 .4. 设随机变量，且二次方程无实根的概率等于0.5， 则 .5. 设，则= . 6. 掷硬币次，正面出现次数的数学期望为 .7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）.8. 设是来自总体的简单随机样本，统计量，则常数= ,自由度 .二 计算题（共50分）成绩评卷人1.（10分）设袋中有只正品硬币，只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？成绩评卷人2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其概率密度函数为某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出的分布律，并求.成绩评卷人3.（10分）设二维随机变量在边长为的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：(1) 求随机变量,的边缘概率密度；(2) 求条件概率密度.成绩评卷人4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.成绩评卷人5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学期望.成绩评卷人三. （10分）设是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为 其中是未知参数，是一组样本值，求：（1）的矩法估计；（2）的极大似然估计.成绩评卷人四. （8分）假设是的无偏估计，且有试证不是的无偏估计.成绩评卷人五. （8分）设是来自总体的一组样本，是来自总体的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为，且设均为未知. 欲检验假设，显著性水平事先给定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.评分标准一：填空题:(每小题3分)1. 0.7; 2. 0.6; 3. ; 4. 4; 5. 53; 6. n/2; 7. ; 8. , 3.二：计算题1. 解：记 A:取得正品硬币； B：投掷次，每次都得到国徽； 取作为样本空间的划分. 2. 解：某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为， 注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为. 所以，即 3. 解：(1) 由对称性 (2) 当时，有 4. 解：记取出的四只电子管寿命分别为，所求概率为，则 5. 解：记圆盘面积为，圆盘直径为R，则， 由随机变量函数的数学期望的计算方法有 三：解：（1） 矩法估计量 令 解之得的矩法估计量: （2） 极大似然估计 0, 故是的递增函数，故 由得 ， 所以极大似然估计量为，四：证明：由方差的计算公式有：， 再由是的无偏估计可得： 易见当时，不是的无偏估计. 五：构造检验统计量， 当为真时，, 当不真