选修2-21.1.1变化率与导数.ppt

1.1变化率与导数,1.1.1变化率问题,在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?,问题导入,播放,暂停,停止,思考：,新授：,一、函数的平均变化率,注：,那么，函数的平均变化率还可以表示为：,直线AB的斜率,A,B,二、函数的平均变化率的几何意义,例(1)计算函数f(x)=2x+1在区间3,1上的平均变化率；,(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。,(1)解：y=f(-1)-f(-3)=4x=-1-(-3)=2,(2)解：y=f(x+x)-f(x)=2xx+(x)2,练习,1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A.3B.3x-(x)2C.3-(x)2D.3-x,D,3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.,A,小结,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：,1.1变化率与导数,1.1.2导数的概念,探究一：,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?,探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，,虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态,瞬时速度.,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。,又如何求瞬时速度呢?,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,探究二：,当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?,定义:,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作,或,即,注：,设函数f(x)在x0处可导，则()Af(x0)Bf(x0)Cf(x0)Df(x0),C,例,跟踪训练,1.,2设f(x)在x0处可导，下列式子中与f(x0)相等的是(),B,由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:,求函数的改变量2.求平均变化率3.求值,一差、二比、三极限,例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,典例分析,小结,由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限,想一想1.(1)x0x一定比x0大吗？(2)导数yf(x)从x1到x2的平均变化率一定存在吗？(3)导数yf(x)在x0处的瞬时变化率一定存在吗？提示：(1)不一定x是一个相对于x的变化量，可正可负,但不能为0.(2)一定存在因为x1，x2属于导数的定义域且x1x2.(3)不一定当且仅当yf(x)在x0到x0x的平均变化率的极限存在时，函数yf(x)在x0处的瞬时变化率存在,1.1变化率与导数,1.1.3导数的几何意义,探究：,如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.,斜率!,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,切线定义：,要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,切线定义解析：,导数的几何意义,函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.,即:,故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是:,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,函数导函数,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,跟踪训练求曲线f(x)x22x1在点P(1，f(1)处的切线方程.,【名师点评】求切点坐标可以按以下步骤进行：(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标,易错警示求曲线的切线方程中“过”“在”不分致误过点P(1,1)作曲线yx3的切线，求此切线方程【常见错误】由于P(1,1)在曲线yx3上，认为切点是(1,1)从而得切线方程为3xy20.而忽