求圆锥曲线的离心率的常用方法_第1页
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求圆锥曲线的离心率的常用方法一、根据条件先求出a，c，利用e=求解例1 若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( )A. B. C. D.解析：由F1、F2的坐标知 2c=31，c=1，又椭圆过原点，ac=1，a+c=3，a=2，c=1,所以离心率e=.故选C.例2 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A. B. C. D2解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=,因此选C二、构建关于a，c的齐次等式求解例3 设双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为c，则双曲线的离心率为( )A.2 B. C. D. 解析：由已知，直线L的方程为bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式，得 c，又c2=a2+b2, 4ab=c2,两边平方，得16a2(c2a2)=3c4.两边同除以a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0.解得 e24或e2.又0a2，e24，e2.故选A.例4 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（ ）图2 （A） （B） （C） （D）解析：如图2所示，不妨设M(0，b)，F1(-c,0), F2(c,0),则|MF1|=|MF2|=.又|F1F2|2c，在F1MF2中， 由余弦定理，得cosF1MF2,即cos120，b2c2a2，3a22c2，e2，e.故选B.例5 双曲线1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A.2 B. C. D.解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，a=b，c=a，e.故选C.三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e的取值范围例6 设(0，)，则二次曲线x2coty2tan=1的离心率的取值范围为( )A.(0，) B.(，) C.(，) D.(，+)解析：由x2coty2tan=1，(0，)，得a2tan，b2= cot,c2a2+b2tan+ cot,e21+ cot2,(0，)，cot21,e22，e.故选D.四、构建关于e的不等式，求e的取值范围例7 如图，已知梯形ABCD中，AB2CD，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率e的取值范围图3解析：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图3所示的直角坐标系xOy，则CDy轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记A(c，0)，C(，h),E(x0，y0)，其中c=AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高由定比分点坐标公式得 x0，y0设双曲线的方程为1，则离心率e=. 由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得 1 ，将点E的坐标代入双曲线方程得()2()21 再
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