第三章矩阵的初等变换及线性方程组习题课

线性代数习题课,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,（第行的倍加到第行上，记作）.,一、内容提要,（一）初等变换,定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,（i）对调两行（对调两行，记作）；,（ii）以数乘某一行中的所有元素（第行乘，记作),（iii）把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去；,（记号：“”换为“”）,矩阵与列等价；记作；,若矩阵经过有限次初等列变换变成矩阵，则称,阵与等价；记作；,矩阵与行等价；记作；,若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，则称矩,定义2若矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵，则称,注（1）将定义中“行”改为“列”，称为矩阵的初等列变换；,（2）初等行变换与初等列变换统称为初等变换,（二）初等矩阵,1定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为,2三种初等矩阵，.,行列式：，.,逆矩阵：,.,作用：“左乘变行，右乘变列”,初等矩阵,（三）矩阵的秩,1定义设矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有,阶子式（如果存在的话）全为,则称为的最高,阶非零子式数称为矩阵的秩，记为.,规定：零矩阵的秩为,2性质（1）.,（2）.,（3）若，则.,（4）若可逆，则.,3求法（1）定义法；,（四）线性方程组的解,1有非零解；,2有解，；即,（1）当时，有唯一解；,（2）当时，有无穷多解；,（3）当时，无解,3通解的求法:初等行变换法,（2）利用初等行变换化为与之等价的行阶梯形,矩阵非零行的行数就是的秩,存在可逆阵、，使,（五）一些重要结论,1可逆（为初等矩阵，）,2逆矩阵的求法,二、典型例题举例,（一）填空题,【例1】给矩阵左乘一个初等方阵，相当于对施行一次相应的；给矩阵右乘一个初等方阵，相当于对施行一次相应的.,分析本题是考查初等方阵的性质,解初等行变换；初等列变换,【例2】，.,分析本题是考查初等方阵的定义及性质,解；,【例3】设矩阵，,则逆矩阵.,分析本题可利用初等行变换法求逆矩阵,解,可知，的任何阶子式均为，故此时，所以,分析本题是考查矩阵和伴随矩阵秩之间的关系由,解,【例4】设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵的秩为.,注与的秩的一般关系是.,【例5】设是矩阵，的秩，而，,分析本题是考查矩阵秩的性质因，所以可逆，,解,.,从而,【例6】已知矩阵的秩为，矩阵的秩为，则,的秩为.,分析本题是考查列乘行形式的矩阵秩的性质因，,，故与均至少有一个非零元，所以也至少有,一个非零元，从而；又的各行元素对应成比例，,所以的任何阶子式均为，故.可见.,解,注一般结论：设，均为非零列矩阵，则.,分析本题是考查初等方阵的性质及逆由于与互为逆矩阵，所以，故应选.,.,.【】,.,.,解选.,【例2】设，是3阶初等方阵，则等于,.,.,.,.,【】,【例1】设A是n阶方阵，则下列各式中正确的是,（二）选择题,知应选.,矩阵的第三行，故应选.,分析本题是考查初等方阵的性质由于为用乘,解选.,【例3】设线性方程组有唯一解，则必有,.,.,.,.,【】,分析本题是考查线性方程组有唯一解的条件由,解选.,【例4】设为矩阵,为矩阵，若方程组,.,.,.,.,【】,有无穷多解，则必有,知应选.,分析本题是考查线性方程组有无穷多解的条件由：,解选.,（三）计算题,【例1】求矩阵的逆矩阵,分析本题A为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求逆阵.,解,所以,首元所在列的原矩阵中寻找A的最高阶非零子式,将A化为行阶梯形矩阵，则与之等价的行阶梯形矩阵的非零,行的行数就是A的秩另外，可在阶梯形矩阵中非零行非零,【例2】求矩阵的秩，并求一最高阶的非子式,分析本题中A为具体的矩阵，故可采用初等行变换法求秩,解因所以,因，所以即为一个最高阶的非零子式.,【例3】设矩阵与满足，其中,（1）求；（2）求.,分析本题为常规的解矩阵方程题型一般方法是先将矩阵,解（1）由，得；因,所以,方程化为基本型，再用初等行变换法求未知矩阵,（2）因，所以.,【例4】求解齐次线性方程组,分析本题为解齐次线性方程组题一般方法将系数矩阵作初等行变换化为行最简形；由判断解的情况；由最简形得同解方程组；选择非自由未知数，写出通解,解因,同解方程组为,通解为，,【例5】设非齐次线性方程组.问取何值时，方程组有解；在方程组有解时，求出其通解,分析本题为解含参数的非齐次线性方程组题，是个很重要的典型题一般方法将增广矩阵作初等行变换化为行最简形；由与的关系判断解的情况，由此得相应的取值；由最简形得同解方程组；选择非自由未知数，写出通解,解因,所以，当，即时，方程组才有解，此时,同解方程组为，通解为,【例6】设，求.,（教材P78,习题6）,解由可得，因,由上述结果可知可逆，且,【例7】求解非齐次线性方程组.,(教材P.79,习题14(3),解,所以，故原方程组有无穷多解.,且同解方程组为,令，则得通解,【例8】问取何值时，非齐次线性方程组,（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？（教材P.80,习题16）,解法1对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵,可见（1）当且时，.此时方程组有唯一解,（2）当时，；此时方程,（3）当时，此时方程组有无穷多解.,组无解.,通解为,【由于此时，同解方