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求点到平面距离的基本方法北京农大附中 闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例 （2005年福建高考题）如图1，直二面角中，四边形是边长为的正方形，为上的点，且平面.()求证：平面；()求二面角的大小；()求点到平面的距离. 图1()、()解略，()解如下：一、直接法利用两个平面垂直,直接作出点到平面的距离. 如图2, , ,则.为点到平面的距离.图2解：如图3，过点作，连结，则平面平面，平面平面，平面平面，作垂足为，则平面.是点到平面的距离.在中，图3二、平行线法如图4,为上任意一点, ,则.点到平面的距离转化为平行于平面的直线到平面的距离，再转化为直线上任意一点到平面的距离.图4解：如图5，过点作，连结，则平面，点到平面的距离转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离.作垂足为，平面平面，平面，是点到平面的距离.在中，图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似,转化为求斜线上的点到平面的距离. 如图6、7, ，, ,若,则.点到平面的距离转化为求直线上的点到平面的距离. 图6 图7解：如图8，与的交点为，即平面，点到平面的距离与点到平面的距离相等.平面平面，平面，是点到平面的距离.在中，图8四、线面角法如图9，为平面的一条斜线，与所成的角为，到平面的距离为，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有.经过与垂直的平面与相交，交线与所成的锐角就是与所成的角，这里并不强求要作出在上的射影，连结得.图9解：如图10，平面，平面平面，为与平面所成的角为,则点到平面的距离.由()知二面角的正弦值为，得.到平面的距离.图10五、二面角法如图11，、所成二面角的大小为，点到平面的距离，则有.也就是二面角的大小，而不强求作出经过的二面角的平面角.图11解：如图12，平面平面，平面，设二面角的大小为，则点到平面的距离.由()知二面角的正弦值为，得.到平面的距离.图12六、体积法解：如图13，过点作交于点,.二面角为直二面角，平面.设到平面的距离为，平面，. 点到平面的距离为图13七、向量法解：如图14，以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，平面，平面， ，在的中点，, 设平面的一个法向量为，则解得令得是平面的一个法向量.AD/轴，点D到平面的距离.图1
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