2.3 数学归纳法ppt课件

2.3数学归纳法,1,从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”,万百千的笑话,2,犯了不完全归纳法的错误,一二三的写法只是特殊情况，并不是所有的字都是这样写的，他根据这几个特殊字的写法推断出所有的字都这样写就错了。,万百千在学习上犯了什么错误?,3,对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。,归纳法,完全归纳法（枚举法）,不完全归纳法,归纳推理是合情推理，它可以帮助我们发现规律，但是不能用来证明数学结论，数学归纳法是一种特殊的直接证明方法，专门用来证明与自然数相关的命题。,4,阅读教材中的多米诺骨牌游戏并回答：能使所有的牌倒下的条件是什么？,两个基本条件：（1）要推倒第一块牌；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块牌倒下能导致后一块牌倒下（连续性）,5,研读教材P92-P93思考1.数学归纳法的定义2.数学归纳法适用范围是什么?3.数学归纳法的步骤(原理)是什么?4.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么?5.有人说:“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”,你怎样理解这句话？,6,数学归纳法的定义,一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤成立：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立；证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。,7,数学归纳法适用范围,主要用于研究与正整数有关的数学问题,数学归纳法的关键与难点,8,用框图表示为：,归纳奠基,归纳递推,注：两个步骤,一个结论,缺一不可,9,注意1.,用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.,2,(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0,(2)(归纳递推)是递推的依据nk时命题成立作为必用的条件运用，而nk+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明,10,证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；,（2）假设当n=k时，等式成立，即,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何nN+都成立。,11,课堂练习,12,13,14,15,16,例2证明：平面上n个圆最多把平面分成n2n+2个区域。,证明：（1）一个圆将平面分成2个区域，而当n=1时，n2n+2=2，因此结论当n=1时成立；,（2）假设当n=k时，结论成立，即k个圆最多把平面分成k2k+2个区域。在此基础上，为使区域最多，应使新增加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k个交点，,17,这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区域，这样k+1个圆最多把平面分成,(k2k+2)+2k=(k+1)2(k+1)+2个区域，,这就是说，当n=k+1时，结论也正确，由（1）和（2）可以断定，结论对任何nN+都正确。,18,例3求证：当n5时，2nn2，,证明：（1）当n=5时，25=32，52=25，因此2552，即n=5时，结论正确；,（2）假设当n=k(k5)时，这个命题是正确的，那么由2kk2得,这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的.,由（1）和（2）可以断定，这个命题对于所有大于或等于5的正整数n都正确。,19,例4求证：凸n边形的对角线的条数为,证明：（1）当n=4时，四边形的对角线有2条，f(4)=2，所以对于n=2，命题成立.,（2）设凸k边形的对角线的条数为,当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,20,该顶点与原k边形中的(k2)个顶点可连成(k2)条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k1)条对角线,所以,即n=k+1时，命题成立。,由（1）、（2）可知，凸n边形的对角线的条数为,21,例5求证当n为正奇数时7n+1能被8整除.,证明：(1)n=1时，71+1=8能被8整除；,(2)假设n=k(k为正奇数)时7k+1能被8整除(设7k+1=8M，MN)则当n=k+2时，7k+2+1=727k+7272+1=72(7k+1)48=498m86=8