飞行器结构力学电子教案5-2

飞行器结构力学基础电子教学教案,西北工业大学航空学院航空结构工程系,第五章位移法DisplacementMethodofStructureAnalysis,第二讲,梁元素与刚架的位移法求解,5.3平面梁元素与平面刚架位移法求解,在元素局部坐标系中，长度为L，结点编号为ij的平面梁元素如图所示，梁的截面拉伸刚度为EA，截面抗弯刚度为EJ。因为梁元素能承受轴向力、横向剪力和弯矩，故梁的每个结点上有三个位移分量，相应的也有三个结点力。,记梁元素在局部坐标系中的结点位移列阵和结点力列阵分别为：,一、梁元素在局部坐标系中的平衡方程及刚度矩阵,根据元素刚度矩阵的物理意义，可以写出梁元素在局部坐标系中的刚度矩阵具有如下形式：,根据刚度系数物理意义，可以确定元素刚度矩阵中各个刚度系数的值。,在线弹性小变形假设下，梁的纵向(轴向)变形与横向变形不耦合。即：轴向变形不会影响到横向变形的刚度系数，反之亦然。因此，轴向变形的刚度系数与桁架结构的一致。,梁元素在局部坐标系中的刚度矩阵为：,如果不计轴向变形，则梁元素在局部坐标系中的刚度矩阵为：,二、梁元素刚度矩阵的坐标变换,二、梁元素刚度矩阵的坐标变换,梁元素在总体坐标系下的刚度矩阵的变换式为：,梁元素在总体坐标系中的刚度方程为：,注意到：梁元素的刚度矩阵也是对称的。但从表面上看，的规律不存在。这种现象是由于梁元刚度矩阵中不仅有力，而且有力矩，它们的平衡不能用简单的加减来表示而造成。,三、刚架结构的总刚度矩阵的组集和总刚度方程的求解,对于刚架结构，其总刚度矩阵的组集和总刚度方程的求解，与桁架的完全相同的，可参考桁架的相应内容。这里不再详述。,四、刚架的位移法求解,【例题3】用位移法求图示刚架的结点位移。设全部杆件的弯曲刚度均为EJ。,解：,(1)建立总体坐标系、结点编号、元素编号。,(2)元素刚度矩阵。,对于元素1-2：,对于元素2-3：,(3)组集总刚：,在此叠加。,(4)引入位移边界：,(5)解上述方程，求出位移。,，消除总刚奇异性。,【例题4】用位移法求图示结构2点的位移。,解：,(1)结构对称，取一般结构计算。建立总体坐标系、结点编号、元素编号，视弹簧为杆元，结构为杆与梁的组合结构。,(2)元素刚度矩阵。,对于梁元(1)，局部坐标与总体坐标一致，刚度矩阵不必转换。,考虑到边界条件：,【例题4】用位移法求图示结构2点的位移。,对元素(2)：42,刚度矩阵：,，,边界条件：,(3)总刚度矩阵及总刚度方程。,(4)解得,5.4对称条件的利用,对于对称结构受正对称载荷或反对称载荷作用，利用对称定律，可计算其对称的部分结构。在对称轴（面）上的位移应满足对称条件，可以看作是位移约束条件。,当结构为在自平衡力系作用下的自由结构时，可利用静力等效的方法，引入相当数量的附加约束。,引入附加约束的原则：（1）必须足够，以消除最优结构的刚体位移。（2）必须和部分外载荷静力等效，引入附加约束引起的支反力和原外载荷大小及方向必须一致。,5.5斜支座的处理,对于图中2点的斜支座，因其零位移的方向与总体坐标轴不平行，故不能简单地引入到总刚度方程中删行删列。必须做适当的处理。,对于总刚度方程：,设第i个结点在斜支座上，斜支座和总体x轴的夹角为。由投影关系，可得：,写成矩阵形式：,并有：,代入总刚度方程中，有：,将第i个方程前乘，则有：,写成矩阵形式：,或，,其中，,I为二阶单位矩阵。,本章小结,我们看到，在分析超静定结构时，位移法与力法的主要区别是它们所选取的基本未知量不同。力法是以结构中的多余未知力为基本未知量，求出多余未知力后，再据此算得其他未知内力和位移。而位移法是取结点位移为基本未知量，根据求得的结点位移再算得结构的未知内力。,力法解题思路简捷、直观，传力路线清晰，适用于分析简单超静定问题，但对于较高阶超静定次数的复杂结构，力法则显得无从下手。而位移法的未知量个数与超静定次数无关，且位移法诸如单元刚