概率论与数理统计课件(最新完整版)

概率论与数理统计2006-02-10,第一章随机事件及其概率,2020/5/19,1.1随机事件及其概率的统计定义,一、概率论的诞生及应用1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ac),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望。概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域,例如天气预报,地震预报,产品的抽样调查;另外在经济、金融、保险；管理决策；生物医药；农业（试验设计等）等领域都有广泛应用.,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象,“可导必连续”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,二、随机现象,确定性现象的特征:,条件完全决定结果,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.,2.随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,结果有可能为:,“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.,实例3“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,实例2“用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”.,结果:“弹落点会各不相同”.,实例4“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.,其结果可能为:,正品、次品.,实例5“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.,实例6“一只灯泡的寿命”可长可短.,随机现象的特征:,条件不能完全决定结果,2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.,1.可以在相同的条件下重复地进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,定义在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,三、随机试验,说明,1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”、或“测量”等.,实例“抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况”.,分析,2.随机试验通常用E来表示.,(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;,1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.,同理可知下列试验都为随机试验,(2)试验的所有可能结果:,正面，反面;,(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,3.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.,4.考察某地区10月份的平均气温.,5.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.,四、概率的统计定义,、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次，A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态比如投硬币实验，频率将稳定在1/2附近、统计概率：将事件A的频率的稳定值p作为事件A出现的可能性的度量，即P(A)=p为事件A的统计概率统计概率的缺点：（）需要大量的重复试验（）得到的是概率的近似值,1.2样本空间,定义1对于随机试验E，它的每一个可能结果称为样本点，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的集合称为E的样本空间或必然事件，用或S表示我们规定不含任何元素的空集为不可能件，用表示。P()=1,P()=0,例、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还是反面，则样本空间为：=正面，反面或1,2例、设试验为从装有三个白球（记为，号）与两个黑球（记为，号）的袋中任取两个球（）观察取出的两个球的颜色，则样本空间为：=00,11,0100表示“取出两个白球”，11表示“取出两个黑球”，01表示“取出一个白球与一个黑球”,（）观察取出的两个球的号码，则样本空间为：=12,13,14,15,23,24,25,34,35,45ij表示“取出第i号与第j号球”注：试验的样本空间是根据试验的内容确定的！,随机事件随机试验E的样本空间的子集(或某些样本点的子集），称为E的随机事件,简称事件.,试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”,“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.,例3写出掷骰子试验的样本点,样本空间,基本事件,事件A出现偶数,事件B出现奇数,小结,随机现象的特征:,1,条件不能完全决定结果.,2.随机现象是通过随机试验来研究的.,(1)可以在相同的条件下重复地进行;,(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,随机试验,3.随机试验、样本空间与随机事件的关系,随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,必然事件不可能事件是两个特殊的随机事件,和事件与积事件的运算性质,二.事件间的运算规律,三完备事件组,逆分配律,概率论与集合论之间的对应关系,四、小结,一.古典概型,1.4概率的古典定义,、定义如果一个随机试验E具有以下特征（1）、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；（2）、每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。,设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为E的任意一个事件,且包含m个样本点,则事件A出现的概率记为:,2.古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,3.古典概型的基本模型:摸球模型,(1)无放回地摸球,问题1设袋中有M个白球和N个黑球,现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?,样本点总数为,A所包含的样本点个数为,解,设A=所取球恰好含m个白球,n个黑球,(2)有放回地摸球,问题2设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,样本点总数为,A所包含样本点的个数为,4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型,(1)杯子容量不限制,问题1把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2)每个杯子只能放一个球,问题2把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的概率.,解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,解,5、典型例题,在N件产品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,例3（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率1/N被分配在间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：,(1)某指定间房中各有一人;,(2)恰有间房，其中各有一人；,(3)某指定一间房中恰有人。,解先求样本空间中所含样本点的个数。首先，把n个人分到N间房中去共有种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。,(b)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为,(a)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为：,(c)某指定一间房中恰有m人，可能的分法为,进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为:,(1),把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法几何方法.,概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个,概率的古典定义就不适用了.,二、几何概型,定义1,定义2当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为,说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.,那末,两人会面的充要条件为,例1甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(t1P(A+B),由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以A与B独立,进而,=0.8,1.三事件两两相互独立的概念,(二)多个事件的独立性,定义,2.三事件相互独立的概念,定义,设A1，A2，An为n个事件，若对于任意k(1kn),及1i1i2ikn,3.n个事件的独立性,定义,若事件A1，A2，An中任意两个事件相互独立，即对于一切1ijn,有,定义,注.,两个结论,n个独立事件和的概率公式:,设事件相互独立,则,也相互独立,即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.,结论的应用,则“至少有一个发生”的概率为,P(A1An)=1-(1-p1)(1-pn),类似可以得出：,=1-p1pn,事件的独立性在可靠性理论中的应用：,一个元件的可靠性：,该元件正常工作的概率.,一个系统的可靠性：,由元件组成的系统正常工作的概率.,1.10独立试验序列,1.定义(独立试验序列),设Ei(i=1,2,)是一列随机试验,Ei的样本空间为i,设Ak是Ek中的任一事件,Akk,若Ak出现的概率都不依赖于其它各次试验Ei(ik)的结果,则称Ei是相互独立的随机试验序列,简称独立试验序列.,则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为贝努里概型.,若n次重复试验具有下列特点：,2.n重贝努利(Bernoulli)试验,1)每次试验的可能结果只有两个A或,2)各次试验的结果相互独立，,(在各次试验中p是常数，保持不变）,实例1抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.,实例2抛一颗骰子n次,观察是否“出现1点”,就是n重伯努利试验.,一般地，对于贝努里概型，有如下公式：,定理,如果在贝努里试验中，事件A出现的概率为p(0p1),则在n次试验中，A恰好出现k次的概率为：,3.二项概率公式,推导如下：,且两两互不相容.,称上式为二项分布.记为,经计算得,解,例2,解,三、内容小结,4二项分布,5几何分布,备用题,伯恩斯坦反例,一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A,B,C分别记投一次四面体出现红,白,黑颜色朝下的事件,问A,B,C是否相互独立?,解,由于在四面体中红,白,黑分别出现两面,因此,又由题意知,例1,故有,因此A、B、C不相互独立.,则三事件A,B,C两两独立.,由于,解,事件B为“击落飞机”,甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.