线性代数试验-方阵对角化与matlab在微积分中的应用

哈尔滨工程大学理学院线性代数实验教学团队,实验四方阵对角化与MATLAB在微积分中的应用,4.1特征值与特征向量4.1.1实验目的1.掌握MATLAB软件线性变换的几何含义；2.掌握MATLAB软件求解特征值和特征向量的方法。,4.1.2实验指导,下表给出与本次实验相关的MATLAB命令,4.1.3实验内容,例4.1.1求3阶方阵A的特征多项式，并求特征值。,解：方法一：A=111213;141516;171819;%输入矩阵APA=poly(A)%A的特征多项式PA=1.0000-45.0000-18.0000-0.0000,v=roots(PA)%求特征多项式零点，即特征值v=45.3965-0.39650.0000方法二：A=111213;141516;171819;eig(A)ans=45.3965-0.39650.0000,图4.1线性变化几何意义,解：由附录1.2程序可以画出如下图4.1：,附录程序1.绘制向量程序：%绘制二维向量函数functiondrawvec(u)plot(0;u(1),0;u(2);%画向量线段holdontheta=acos(u(1)/norm(u);%计算夹角if(u(2)symsk%定义k为符号变量A=0.50.25;0.250.5;%输入矩阵B=A-k*eye(length(A)%构造矩阵B=A-KIB=1/2-k,1/41/4,1/2-k,d=det(B);%计算B行列式d=k2-k+3/16,v=solve(d)%求特征多项式的根v=1/43/4lamdal=eval(v)%化符号解为数值解lamdal=0.25000.7500,方法二：用MATLAB命令：A=0.50.25;0.250.5;%输入矩阵AQ,d=eig(A)%求矩阵A的特征值与特征向量Q=-0.70710.70710.70710.7071d=%注意在对角线上的值才是特征值0.2500000.7500,A*Q(:,1)%验证Ax=kxans=-0.17680.17680.25*Q(:,1)ans=-0.17680.1768,特征值与特征向量的几何含义：A=0.50.25;0.250.5;eigshow(A),图4.2特征值与特征向量的几何意义,4.3方阵正交对角化4.3.1实验目的1.掌握MATLAB软件方阵正交化的方法；2.通过MATLAB软件进一步理解方阵对角化意义。,4.3.2实验指导,下表给出与本次实验相关的MATLAB命令,为了能够更好的求得矩阵的n次幂，需要对方阵进行对角化处理。,4.3.3实验内容,例4.3.2化方阵,为对角阵。,解：a=22-2;25-4;-2-45;%输入矩阵Ap,v=eig(a)%求特征值与特征向量,p=-0.29810.89440.3333-0.5963-0.44720.6667-0.74540-0.6667v=1.00000001.000000010.0000,4.4MATLAB在微积分中的应用4.3.1实验目的1.了解MATLAB软件在微积分中应用；2.掌握MATLAB软件求泰勒展开式、不定积分和定积分的方法；3.进一步理解MATLAB软件在数学学习中的重要作用。,4.3.2实验指导,下表给出与本次实验相关的MATLAB命令,4.4.1实验内容泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,例4.4.1将,分别展开为x和x-1的幂级数.,解：计算关于x展式的前8项(展开至x7),symsxf=x/sqrt(1+x2);taylor(f,8)ans=-(5*x7)/16+(3*x5)/8-x3/2+x,计算关于x-1展式的前3项,(展开至(x-1)2),taylor(f,3,x,1)ans=2(1/2)/2+(2(1/2)*(x-1)/4-(3*2(1/2)*(x-1)2)/16,例4.4.2关于,的泰勒展开式逼近.,symsxa=taylor(sin(x),3)%展开至x2a=xb=taylor(sin(x),5)%展开至x4b=x-x3/6c=taylor(sin(x),11)%展开至x10c=x9/362880-x7/5040+x5/120-x3/6+xd=taylor(sin(x),13)%展开至x12d=-x11/39916800+x9/362880-x7/5040+x5/120-x3/6+x,解：,ezplot(sin(x);holdonezplot(x);holdonezplot(x-x3/6);holdonezplot(x9/362880-x7/5040+x5/120-x3/6+x);holdonezplot(-x11/39916800+x9/362880-x7/5040+x5/120-x3/6+x);gridon,4.4.2实验内容符号积分,符号积分由函数int来实现.该函数的一般调用格式为:int(s)：没有指定积分变量时，系统按最接近x的变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。,int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a,b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。,例4.4.2已知,，求,的积分.,symsabcxf=sym(a*x2+b*x+c)f=a*x2+b*x+cint(f)ans=(a*x3)/3+(b*x2)/2+c*x,解：,int(f,x,0,2)ans=(8*a)/3+2*b+2*cint(f,a)ans=a*(c+b*x)+(a2*x2)/2int(int(f,a),x)ans=(a*x*(a*x2+3*b*x+6*c)/6,如何写作业（四步骤),一、下载作业模板,二、把word更名为学号姓名第一次作业，如，2011104103张三第一次作业,三、按照模板中题目要求开始作业,四、关闭word文件,如何交作业（四步骤),一、打开桌面上IE浏览器,输入2回车（按下Enter键),