振动力学(倪振华)

,振动力学,参考书目：1.王伟等振动力学与工程应用,郑州大学出版社,20082.胡少伟等结构振动理论及其应用,中国建筑工业出版社,2005,课程特点与学习方法,课程性质:力学专业课课程特点:理论繁杂、工程应用性强;与多门学科紧密相关数学基础:微积分、微分方程、线性代数、复变函数、积分变换、计算方法、级数等;力学基础:理论力学、分析力学、材料力学、弹性力学、结构力学、有限元等。,第1章导论,振动的概念振动研究的问题及其分类振动分析的力学模型振动问题的研究方法,1.什么是振动振动Vibration，就是物体在静平衡位置附近所作的往复运动。我们只研究物体在静平衡位置附近所作的往复微小弹性运动。,1.1机械振动概述,2.机械振动现象机械振动是自然界非常普遍的运动现象，广泛存在于工程技术和日常生活中。如:日常生活中，心脏的跳动、钟摆的摆动、琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等;工程技术领域，桥梁与建筑物的振动、飞行器与船舶的振动、机床与刀具的振动、各种动力机械的振动、以及地震、风振、噪声等等，都是属于机械振动的范畴。,3.产生振动的原因一是由外界干扰引起，二是结构本身固有的原因引起。4.研究振动问题的目的工程和日常生活中，振动现象和振动问题既有有用的一面也有不利的一面。利用振动原理设计出很多常用的物品和机械结构，如摆钟、振动筛、振动物料传送带、振动打桩机械等等。,而大多数情况下,振动会产生不良、甚至严重、灾难性的后果。由于振动,降低了机器的动态精度和其它使用性能;由于振动,机器在使用过程中产生巨大的反复变动的荷载,导致使用寿命的降低;有时候振动甚至酿成灾难性事故,如大桥因共振而倒塌,烟囱因风振而倾倒,飞机因颤振而坠落等等。,5.研究振动问题的总目标研究振动产生的原因和它的运动规律;寻求控制和消除振动的方法;振动检测，分析事故原因及控制环境噪声;振动技术的应用,1.振动问题中的名词概念振动系统：在振动问题中所研究的对象。如机器或结构物等。激励或输入：外界对振动系统的作用或引起机器运动的力。激励或输入是随时间变化的，将引起振动的发生。,1.2振动系统及参量1.3振动系统的分类及研究方法,确定性激励:可用时间的确定函数来描述的激励;随机激励:不能用时间的确定函数表示的激励。随机激励具有一定的统计规律性，可以用随机函数和随机过程描述。响应或输出：机器或结构在激励作用下产生的动态行为。确定性激励下的响应不一定是确定的，但随机激励下的响应一定是随机的。,2.工程振动分析的类别振动分析：研究振动系统、激励(输入)和响应(输出)三者之间的关系。,理论上讲，只要知道两者就可以确定第三者。这样，工程振动分析所要解决的问题可以归纳为下面几类。,（1）响应分析已知系统和输入参数，求系统响应。包括位移、速度、加速度和力的响应。这为计算和分析结构的强度、刚度、允许的振动能量水平等提供了依据。,（2）系统设计已知振动系统激励(输入)和所要满足的动态响应(输出)的要求，设计合理的系统参数。对机器和结构的设计而言，这类问题更为重要。通常系统设计要依赖于响应分析，所以在实际工作中，响应分析和系统设计这两个问题是交替进行的。,（3）系统识别已知振动系统的激励(输入)和响应(输出)求系统参数,以便了解系统的特性。系统识别包括物理参数识别(确定系统的物理参数:质量、刚度、阻尼等)和模态参数识别(确定或估计系统的固有特性:固有频率、振型等)。（4）环境预测在已知系统响应(输出)和系统参数的情况下确定系统的输入,以判别系统的环境特征。,对结构进行振动分析，首先要把所研究的对象以及外界对它的作用和影响简化为理想的力学模型。这种力学模型不但要简单，而且在动态特性方面，应尽可能地与原始结构等效。实际工程结构力学模型的建立,是振动分析中很关键很难的一步。本课程只学习一些基本的概念。振动系统的力学基本模型中包括三个基本“元件”：质量、弹性和阻尼。,3.振动分析的力学模型,质量:和理论力学的概念一样，是物体惯性大小的度量。在振动模型中简化为刚体;弹簧:表示振动系统弹性的理想模型。简化为无质量的线弹性元件，即弹簧弹性力的大小与弹簧两端点的相对位移成正比;阻尼:任何振动在没有外界干扰(激励)时都会逐渐消失，因此，系统存在一种阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力称为阻尼。简化为无质量的阻力元件。阻尼力的分析比弹簧力的分析要复杂得多。,弹簧表示力与位移的关系;阻尼表示力与速度的关系;质量表示力与加速度的关系。4.振动过程的机理分析任何结构，之所以能产生振动，是因为它本身具有质量和弹性。从能量关系看,质量可以储存动能,弹性可以储存势能。当外界对系统作功时,质量就吸收动能而具有运动速度，进而发生位移，使弹性元件储存变形能,因而就具有使质量恢复原来状态的能力。这样，能量不断地变换就导致系统质量的反复运动（振动）。,5.振动系统的分类（1）按产生振动的输入(激励)特性分类分为自由振动、强迫振动和自激振动。自由振动:系统受到初始激励作用后，仅靠其本身的弹性恢复力“自由地”振动，其振动的特性仅决定于系统本身的物理特性(质量和刚度);（如摆钟）受迫振动或称强迫振动:系统受到外界持续的激励作用而“被迫地”进行振动，其振动特性除决定于系统本身的物理特性外，还决定于激励的特性;工程中的大部分振动都属于此类振动(振动机械、转子偏心引起的振动等)。,自激振动：在系统自身控制的激励作用下发生的振动。在适当的反馈作用下，系统会自动地激起定幅振动,一旦振动被激起,激励也随之消失。例如：桥梁受风载作用后激发的振动;电线在风载作用线的舞动等。（2）按振动的输出特性分类分为简谐振动、非简谐振动和随机振动。简谐振动与非简谐振动：是否可以用简单的正弦函数或余弦函数表述其运动规律;,随机振动:不能用简单函数或简单函数的组合来表述其运动规律，只能用统计的方法来研究其规律的非周期性振动。（3）按振动系统的自由度数目分类单自由度、多自由度和弹性体的振动。（4）按振动微分方程或系统的结构参数特性分类线性振动:振动系统的惯性力、阻尼力、弹性恢复力分别与加速度、速度、位移成线牲关系，能够用常系数线性微分方程表述的振动;非线性振动:振动系统的阻尼力或弹性恢复力具有非线性性质,只能用非线性微分方程来表述。,（5）按振动的周期性分类周期振动系统、非周期振动(瞬态振动)系统。简谐振动属于周期性振动,非简谐振动也可能是周期性振动。6.振动问题的研究方法解决振动问题的方法有理论分析、数值模拟与计算、实验研究等。本课程主要学习振动的基本理论与分析方法，为进一步解决实际振动问题和开展研究工作打下良好的基础。,第2章单自由度系统自由振动,单自由度系统:可以用一个独立坐标来确定系统的位置及其运动规律的振动系统;单自由度线性系统的振动是最简单的振动系统;许多实际问题可以足够精确地简化为单自由度振动系统;单自由度振动系统的一些概念、特征和研究方法，是研究复杂振动系统的基础。,2.1引言,根据振动系统结构形式的不同，建立振动微分方程的方法也不同，主要采用牛顿定律、动力学基本定理（动量定理、动能定理、动量矩定理）以及拉格朗日方程等。,振动微分方程(P6-20),2.2自由振动系统,2.2自由振动系统,m-k系统的自由振动(P6)m-k系统虽然非常简单，但却是许多实际结构振动问题的力学模型。已知质量为m，弹簧的刚度系数为k。取质量的静平衡位置为坐标原点,当重物偏离x时,利用牛顿定律可得到运动微分方程：,2.2自由振动系统,扭转振动(P9)圆盘在轴的弹性恢复力矩作用下在平衡位置附近作扭转振动。设q为圆盘相对静平衡位置转过的角度,J为圆盘对轴的转动惯量,kt为使轴产生单位转角所需施加的扭矩(即轴的扭转刚度)。则,2.2自由振动系统,复摆(P12)设物体对悬挂点O的转动惯量为JO，利用定轴转动微分方程可得到用转角f表示的转动微分方程:,2.2自由振动系统,纯滚动圆盘(P15)已知m、r、R，利用功率方程(动能定理)或拉格郎日方程可得到用角度f表示的运动微分方程:,2.2自由振动系统,梁的横向振动质量为m的重物放在简支梁的中部，不计梁的质量。设梁长为l，材料的弹性模量为E，截面惯性矩为I。则利用材料力学的概念可得到：,2.2自由振动系统,dst,振动微分方程的统一形式比较前面几种不同系统的振动微分方程,2.2自由振动系统,可以写成统一的数学形式,meq和keq分别称为等效质量和等效刚度，x为广义坐标。为方便起见，以后将等效质量和等效刚度直接写为m和k。则方程变为：,因此只讨论此方程的解即可。,2.2自由振动系统,1.方程的解设,振动微分方程的解(P6),则方程变为,通解为,或,2.2自由振动系统,设系统的初始条件为：t0时，xx0，,则可确定上述解中的常数为：,2.2自由振动系统,2.概念与名词(P6-7)一阶线性振动微分方程的解是时间t的简谐函数，因此这种振动为简谐振动。方程的解中wn只决定于系统本身的参数m和k，而与系统的初始条件无关，是系统本身所固有的特性，所以称为固有频率，或称圆频率或角频率。方程解中的A称为振幅，是质量偏离静平衡位置的最大距离;f称为初相位。,2.2自由振动系统,从方程的解中还可以看出，系统属于周期振动，振动的周期为,周期是系统振动一次所需要的时间，单位为秒（s）。周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作f,2.2自由振动系统,固有频率wn和频率f只相差常数2p，因此经常通称为固有频率。是振动分析中极其重要的参数。显然,2.2自由振动系统,因此wn的物理意义是在2p时间内振动的次数，单位为弧度/秒(rad/s)。圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的三个重要特征量。,1.直接计算法即直接利用固有频率的公式进行计算。求出振动系统微分方程后，利用等效刚度和等效质量，即可求出固有频率：,固有频率的计算,2.2自由振动系统,2.静位移方法(P7)m-k系统是所有一阶线性微振动系统的模型，利用此模型得出的结论具有一般性。质量在静平衡位置时弹簧的位移为,则固有频率为,2.2自由振动系统,复摆系统的固有频率用转角f表示的转动微分方程:,mg,则固有频率:,2.2自由振动系统,纯滚动圆盘系统用角度f表示的运动微分方程:,则固有频率:,2.2自由振动系统,扭转振动系统转动方程为,则固有频率:,2.2自由振动系统,梁的横向振动系统利用振动方程,固有频率:,或利用材料力学公式计算出静位移:,固有频率:,2.2自由振动系统,dst,对无阻尼自由振动系统，能量（机械能）是守恒的。设系统的动能和势能分别用T和V表示，则能量方程为T+V常数或,2.3能量法,2.3能量法,系统在静平衡位置的速度最大，动能也最大，势能取为0位置;在质量偏离静平衡位置最大时，速度为0，动能也为0，而势能达到最大，利用能量守恒关系得到TmaxVmax同时还有下面的关系利用上面两式可以直接求固有频率。,2.3能量法,例利用能量法求纯滚动圆盘系统作微幅振动的固有频率。,2.3能量法,一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的影响，当这些质量不可忽略的时候，“瑞利法”的思想是：将这些弹性元件所具有的多个集中质量或分布质量简化到系统的集中质量上去，从而变成典型的单自由度振动系统。遵循的原则是：简化后系统的动能与原系统的动能相等，但并不考虑重力势能的影响。这种简化只是一种近似方法，但误差不大。,2.4瑞利法,2.4瑞利法,P17例2-4-1质量-弹簧系统，集中质量为m，弹簧长度为l，刚度为k，质量为m1，求考虑弹簧质量影响时的固有频率。,2.4瑞利法,题2.13(a)求图示系统的固有频率。（与P15例2-3-1对比）,举例,单自由度自由振动举例,用定轴转动微分方程，能量法,题2.15求图示系统微幅振动的微分方程（m2视为均质圆盘）。,作业：T2.1，4，13,举例,单自由度自由振动举例,用能量法,无阻尼系统振动过程中能量守恒，振幅保持不变。而实际情况并非如此，必须考虑阻力对振动过程的影响。实际阻力的形式很多，有滑动摩擦表面的阻力、空气或流体阻力、弹性材料的内摩擦阻力等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。阻力大小与速度成正比的阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼。这是最简单的情况。,2.5具有黏性阻尼的振动系统,2.5具有黏性阻尼的振动系统,1.振动微分方程及其解（P21）以静平衡位置为坐标原点建立坐标系，可得系统的运动微分方程,其中c为粘性阻尼的比例常数，称为粘性阻尼系数。,mg,Fk,Fc,2.5具有黏性阻尼的振动系统,令阻尼比为,则方程可写为,令其解为,代入方程得到,此特征方程的两个根是,2.5具有黏性阻尼的振动系统,不同的阻尼比x，对应的解的形式不同，运动性质也不同。2.解及运动形式的讨论（P22-26）（1）x1（大阻尼情况）此时特征方程有两个不同的实根，通解为,2.5具有黏性阻尼的振动系统,给出初始条件：t0时,则可确定系数B和D,2.5具有黏性阻尼的振动系统,这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不是我们所关心的振动形式。设x00，v00，则运动图形大致如下。,2.5具有黏性阻尼的振动系统,（2）x1（临界阻尼情况）此时特征方程有重根，通解为,利用初始条件确定常数为,此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为cc,2.5具有黏性阻尼的振动系统,临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运动，按不同的初始条件其运动图形如下。,2.5具有黏性阻尼的振动系统,（3）0x1（小阻尼情况）此时特征方程有一对共轭复根，通解为,或写为,利用初始条件确定出常数,2.5具有黏性阻尼的振动系统,解中有两个因子，一个是衰减的指数函数,它将使振幅越来越小，直至振动最终消失;,2.5具有黏性阻尼的振动系统,另一个是正弦函数，它表示系统以相同的周期通过平衡位置。因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振动形式。,2.5具有黏性阻尼的振动系统,单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况下的衰减振动是我们最为关心的振动形式。这种衰减振动具有下列特性：（1）振幅衰减由前面的解可以看出，振幅不再是常量，而是以几何级数快速衰减;（2）等时性系统仍以相同的周期通过平衡位置;,2.5具有黏性阻尼的振动系统,（3）振动频率变小，周期变长此时系统振动的频率和周期为：,因此：衰减振动的固有频率比无阻尼系统的固有频率小，振动周期变大，但影响不大，特别是当阻尼很小（x1时,3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,振幅的大小主要决定于系统的惯性。这就是高速旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因。,r1（激振频率接近固有频率）时，R迅速增大，振幅很大，这种现象称为共振;,3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,阻尼比x的影响:阻尼越小，共振越厉害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。共振位置：将R对r求导数,令其等于0得,3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,而r1时,由此看出：当x很小时的R和Rmax相差很小，所以在工程中仍认为当wwn时发生共振。,以x为参数,画出f-r曲线即相频特性曲线,表明了阻尼和激振频率对相位差的影响。,3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,3.相频特性曲线（P37）,4.品质因子（P36)工程上通常把共振时的动力放大系数称为品质因子，记为Q：,3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,讨论：从图中可以看出,无阻尼情况下的曲线是由f0和fp的半直线段组成,在r1处发生间断;,3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,有阻尼时f为在0p之间变化的光滑曲线,并且不论f取值多少,当r1时都有fp/2,即曲线都交于(1,p/2)这一点。这一现象可以用来测定系统的固有频率;r时,fp,激振力与位移反相,系统平稳运行;r0时,f0,激振力与位移同相,近似静位移.,3.1单自由度系统在谐和激振下的强迫振动,求出动力放大系数对应于两点q1、q2的两个用x表示的根。由,得,当x5或x1.414时，传递率减小，传递的力小于激振力，且阻尼越小，效果越好，但若阻尼过小，经过共振区时将产生过大的振动。,振动向基础的传递,【例】汽车在5m/周的简谐波形道路上行驶，已知汽车空载质量为250kg，满载质量为1000kg，k=350kN/m，满载时阻尼比x10.5，车速v=100km/h，求满载和空载时汽车的振幅比。解：基础的激振频率,振动向基础的传递,阻尼系数,振动向基础的传递,则空载时的阻尼比为,频率比,1.87（满载）,0.93（空载）,振动向基础的传递,振幅,（满载）,（空载）,所以满载和空载时车辆的振幅比为,P55例3-3-2弹簧质量系统放在箱子中,箱子从高h处自由落下。求（1）箱子下落过程中,质量块相对箱子的运动x;（2）箱子落地后传到地面的最大压力。,振动向基础的传递,解：（1）设m的绝对运动为x1，箱子的运动为y，则x1x+y，运动方程为,即,利用杜哈美积分得响应：,振动向基础的传递,（2）落地后x和x1相同，以刚接触地面时m的运动为初始条件做自由振动。落地时间和箱子的速度为,此时m的运动情况：,振动向基础的传递,因此落地后自由振动的振幅为,最大压力：,振动向基础的传递,题3-36重量为3000N的机器，以刚度系数600N/cm及阻尼比x0.2的阻尼器支撑，若在机器上加以按正弦规律变换的干扰力，其频率与机器转速相同。求：（1）如果传递到基础上的力大于干扰力力幅，机器转速应如何？（2）若传递力的最大值小于干扰力力幅的20，机器的转速应如何。,振动向基础的传递,提示固有频率为:,（1）力传递系数应大于1，则：,解得：,（2）力传递系数应小于20,即：,作业：3-23,振动向基础的传递,第5章两个自由度系统的振动,单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在相互“耦合”现象。所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难。因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容之一就是如何将方程“解耦”，然后按单自由度的分析方法求解。两自由度是多自由度系统最简单的情况。,建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样,但难度更大。,5.2.1运动微分方程（P104-106）,5.2两自由度系统的振动方程刚度矩阵和质量矩阵,5.2振动方程,标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：,坐标原点仍取在静平衡位置,写成矩阵形式,5.2振动方程,式中：,5.2振动方程,M称为系统的质量矩阵，K称为刚度矩阵，C称为阻尼矩阵，x为系统的位移列阵，F(t)为外激励列阵。对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。由于矩阵M、K、C的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。,5.2振动方程,5.2.2刚度影响系数与刚度矩阵,刚度矩阵K中的元素称为刚度影响系数，其kij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义位移，系统平衡时需在i坐标处施加的广义力。具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。,5.2振动方程,5.2.3惯性影响系数与质量矩阵,质量矩阵M中的元素称为惯性（质量）影响系数，其mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。,5.2振动方程,例：用刚度影响系数和惯性影响系数求标准m-k-c系统的刚度矩阵和质量矩阵。,5.2振动方程,柔度影响系数Rij的力学意义是：在j坐标处作用单位广义力，引起i坐标处的广义位移。由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵R。由材料力学的位移互等定理可知RijRji，即柔度矩阵是对称的。,5.3位移方程,5.3两自由度系统的位移方程柔度矩阵,5.3.2柔度影响系数与柔度矩阵(P114-117),例：用柔度影响系数求标准m-k-c系统的柔度矩阵。,5.2振动方程,以柔度矩阵表示的方程为位移方程。对标准m-k-c振动系统，质量m1和m2上的静位移可以表示为xst=RF，而系统的动位移为,这就是系统振动方程的位移形式。,5.3位移方程,5.3.1位移方程(P113-114),因为R为正定矩阵，于是位移方程又可写为,与力形式的方程比较知K=R1，R=K1即对于正定系统R和K互为逆矩阵。,5.3位移方程,【例5-3-1】求系统的振动微分方程。已知梁的抗弯刚度为EI。,解：用影响系数法。由材料力学挠度公式,5.3位移方程,则,而,则方程为,5.3位移方程,若写为力方程形式,则方程为,下面用影响系数法直接求K:,5.3位移方程,设x1=1,x2=0，则由材料力学公式有：,同理有,求出各个刚度系数即组成刚度矩阵K。作业：5-2，6,5.3位移方程,对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程为：,用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程,拉格朗日方程,其中：T为系统的动能，V为势能，Qi为非有势力的广义力，drk为与非有势广义力Fk对应的广义虚位移。实际计算广义力Qi时，通常假设与xi对应的广义虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。,（i1，2）,拉格朗日方程,【例】用拉格郎日方程推导两自由度m-k-c系统微振动微分方程。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置。,拉格朗日方程,静平衡位置：,则：,拉格朗日方程,拉格朗日方程,计算广义力，设m1产生虚位移dx1，而dx20，则,同样设m2产生虚位移dx2，而dx10，则,拉格朗日方程,代入拉格朗日方程,得,整理写成矩阵形式即可。,拉格朗日方程,【T5-30】用拉格郎日方程建立系统微振动微分方程。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,而,则,拉格朗日方程,所以,拉格朗日方程,计算广义力，设只有x1处产生虚位移dx1，则,同样设x2处产生虚位移dx2，则,代入拉格朗日方程即可。作业：T5-29,拉格朗日方程,只给出公式，不作严格推导。1.质量矩阵的形成系统的动能可以表示为,能量法,用能量法确定振动系统的M、K、C,记,则,M即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。2.刚度矩阵的形成势能可写为,K即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。,能量法,3.阻尼矩阵的形成线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为,C即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。,能量法,【例5-2-3】求M和K。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,则,能量法,将余弦函数用级数展开，表示为,则,所以,作业：5-4,能量法,无阻尼自由振动系统的运动方程为,5.4.15.4.3固有频率与固有振型(P117-120),5.4两个自由度系统的自由振动,5.4两个自由度系统的自由振动,假设方程解的形式为,这里：X1、X2为振动幅值，w为固有频率，a为初相位。代入振动方程可得：,这是广义的特征值问题，K-w2M称为特征矩阵。要使上式有解，必须使其系数行列式为零。若M为对角阵，K为对称阵，则有,5.4两个自由度系统的自由振动,上式称为频率方程或特征方程。由此可求出w2的两个正实根。且规定w1=w2。将这两个根代入广义特征值问题(Kw2M)X=0可得到相应的振幅比值,式中X(i)表示对应于第i个固有频率的振幅(i=1,2)。由数学概念知道，只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小。,5.4两个自由度系统的自由振动,和单自由度一样，由于固有频率和振幅比ui只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励和初始条件无关，这表明它们都是系统的固有属性。因此把wi称为系统的固有频率或主频率，ui称为系统的固有振型或主振型。将振幅写成矩阵形式,5.4两个自由度系统的自由振动,称为振型向量或模态向量，组成的矩阵称为振型矩阵。,式中的X1可以取任意值。显然两个主振动的叠加也是方程的解，即,5.4.4系统对初始激励的响应(P121-128),由前面的分析可得到系统的两组特解为,5.4两个自由度系统的自由振动,由解的形式可看出，系统两质量按相同的频率和相位角作简谐运动，这种运动称为固有振动或主振动。每一个主振动称为一个模态，wi和对应的ui组成第i阶模态参数。系统在主振动中，各质点同时达到平衡位置或最大位移，而在整个振动过程中，各质点位移的比值将始终保持不变，也就是说，在主振动中，系统振动的形式保持不变，这就是振型的物理意义。,5.4两个自由度系统的自由振动,式中的各个X、a和C均为任意常数，由初始条件确定。,或写为下面的形式,5.4两个自由度系统的自由振动,将初始条件代入可得,设初始条件为t0时,5.4两个自由度系统的自由振动,综上所述，系统对初始激励的响应求解步骤为：（1）建立运动微分方程，求出质量矩阵M和刚度矩阵K;（2）确定固有频率wi和振幅比ui;（3）利用初始条件求响应。,5.4两个自由度系统的自由振动,【T5-21】求系统的频率方程。,解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置,则,5.4两个自由度系统的自由振动,将余弦函数表示为,则,所以,5.4两个自由度系统的自由振动,【T5-26】求系统的固有频率。,解：用牛顿定律,而,解得,则方程为,5.4两个自由度系统的自由振动,频率方程为,即,展开得,5.4两个自由度系统的自由振动,频率方程为,解得,5.4两个自由度系统的自由振动,【T5-35】质量为m2的物块从高h处自由落下，然后与弹簧质量系统一起做自由振动，已知m1m2m，k1k2k，h100mg/k，求系统的振动响应。,解:（1）用牛顿定律建立方程,5.4两个自由度系统的自由振动,（2）频率方程为,解得,（3）求振型。利用,则,同理,5.4两个自由度系统的自由振动,（4）求响应,初始条件,代入得,5.4两个自由度系统的自由振动,在二阶振动微分方程中，如果质量矩阵M和刚度矩阵K的各个元素都不为零，则在两个方程中都同时包含坐标x1和x2和它们的导数项，这种情形称为坐标耦合。把M为对角阵，K不是对角阵的情形称为静力耦合或弹性耦合（刚性耦合），把K为对角阵，M不是对角阵的情形称为动力耦合或惯性耦合。,5.5广义坐标与坐标耦合,5.5广义坐标与坐标耦合,解得,响应为,作业：T5-13，26，28,5.4两个自由度系统的自由振动,方程是否耦合与广义坐标的选取有关。前面分析的标准m-k-c系统就是静力耦合。对于下面的振动系统，设杆的质量为m，绕质心的转动惯量为JC。,5.5广义坐标与坐标耦合,若取质心位移x和转角q为广义坐标，则自由振动方程是静力耦合的,5.5广义坐标与坐标耦合,若坐标x不取在质心,而是选在满足k1a1k2b2的O点位置，利用平面运动微分方程可得到,其中e为O点距质心的距离，这时运动方程是动力耦合的。,O,5.5广义坐标与坐标耦合,C,同样，若将坐标x取在最左端A，利用平面运动微分方程得到运动方程为,这里的a和b如原图所标的位置。方程既是静力耦合又是动力耦合。,5.5广义坐标与坐标耦合,从前面的分析可知，只要广义坐标形式选择合适，就可以得到没有坐标耦合的运动微分方程，这时的广义坐标称为主坐标。主坐标下的质量矩阵和刚度矩阵除主对角线元素外，其余元素均为零，各个运动方程的坐标之间不存在耦合。,5.6主坐标,5.6主坐标,其中u是前面得到的振型矩阵,令,将x代入原振动方程，化简后就可得到解耦的运动方程（下章证明）,5.6主坐标,显然上述解耦的方程的解可以用单自由度振动的方法独立求得,将其代入x=uP即可得到用原始坐标x表示的一般解。主坐标的概念在强迫振动中具有重要意义。,5.6主坐标,利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵u；（2）求出主坐标下的响应；,（3）利用式x=uP得出原广义坐标下的响应；（4）利用初始条件确定常系数。,5.6主坐标,【例】标准m-k-c系统中，设m1m,m22m,k1k2k,k32k,c=0,求系统的固有频率和固有振型。利用坐标变换方法求系统对初始激励的响应。设初始条件为,5.6主坐标,解:（1）求固有频率和振幅比,得到振型矩阵u,5.6主坐标,（3）利用式x=uP得出,（2）主坐标下的响应,（4）确定常系数。将初始条件代入得,5.6主坐标,联立解得,所以,作业：T5-9，15,5.6主坐标,两自由度振动微分方程为,复数解法,5.7两自由度系统的强迫振动,5.7两自由度系统的强迫振动,设干扰力为谐和函数，并表示为复数形式,令方程的解为,其中X1和X2为复振幅。将上式代入方程得,其中,(i,j=1,2),5.7两自由度系统的强迫振动,若为无阻尼系统，则,振幅为,若干扰力为正弦函数或余弦函数，则前面分析中相关的eiwt变为sinwt或coswt即可。,5.7两自由度系统的强迫振动,即,由此可看出:（1）当激励频率与系统的固有频率接近时，系统出现共振现象，即无阻尼振幅将达到无穷大，所不同的是，两自由度系统有两个共振峰；（2）阻尼的存在使共振振幅减小，在相同的阻尼下，频率高的共振峰降低的程度比频率低的大。因此实际结构的动力响应只需要考虑最低几阶模态的影响。,5.7两自由度系统的强迫振动,和单自由度的概念类似，可以绘出频率比与振幅之间随阻尼比的变化曲线幅频响应曲线,频率响应曲线共振现象,5.7两自由度系统的强迫振动,【例】在两自由度标准m-k系统中，设m1m2m，k1k2k3k，在第一个质量上作用有干扰力F1(t)=F0coswt，求系统的响应。解：,设解为,代入振动方程得,5.7两自由度系统的强迫振动,即,解得,因此系统的响应为,5.7两自由度系统的强迫振动,【T5-45】图示系统，xsasinwt，当w为基频的0.707倍时，车体W2的振幅为a的多少倍。已知W144100N，W2441000N，k11.683107N/m，k23.136108N/m。,解:振动方程为,即,5.7两自由度系统的强迫振动,代入数据，求得固有频率为w118.04，w2282.97机车振动频率为w0.707w10.70718.0412.76,利用前面的方法求得振幅为,作业：T5-39,5.7两自由度系统的强迫振动,当机器转速在共振区域附近时会引起剧烈的振动，由单自由度系统振动理论知道，可以通过调整质量或弹簧刚度或增加阻尼来使振动情况得到缓解。动力吸振器的原理是在原系统上附加一个新的m-k或m-c系统，使其变成两自由度的振动系统，利用前面研究的理论，使原振动系统的振幅趋于零。,动力吸振器,5.7两自由度系统的强迫振动,m1-k1为原来的基本振动系统，m2-k2为附加的吸振系统，这两个系统组成了两自由度振动系统。运动微分方程为,无阻尼动力吸振器,5.7两自由度系统的强迫振动,利用前面的方法求得振幅为,引入记号,基本系统的固有频率;,5.7两自由度系统的强迫振动,吸振系统的固有频率;,基本系统的静位移;,吸振质量与基本质量之比.,一般动力吸振器设计成wnwa，引入频率比r，则振幅可写为,5.7两自由度系统的强迫振动,由此可看出：（1）r1即激振频率w等于吸振系统固有频率wa时，X10，即达到最佳吸振效果；（2）吸振器设计时一般只要求wawn，因此吸振系统的参数有广泛的选择余地。通常，实际的设计选择是要求适当限制吸振系统运动的振幅X2。由X2/xst的式子可知，质量比m越大，在r1时X2越小，因此我们取m值不能太小。,5.7两自由度系统的强迫振动,【T5-44】机器质量m190kg，减振器质量m22.25kg，机器上偏心块质量为m0.5kg，偏心距e1cm，机器转速n1800r/min。求,5.7两自由度系统的强迫振动,（1）减振器刚度k2多大才能使机器振幅为0；（2）此时减振器的振幅为多大；（3）若使减振器的振幅不超过2mm，应如何改变减振器的参数。,解:振动方程为,其中,5.7两自由度系统的强迫振动,（1）利用前面求得的振幅公式,代入数据,令X10求得:k279943.8N/m,代入公式求得减震器振幅为,5.7两自由度系统的强迫振动,（3）设减震器振幅X2=0.002，同时设w1w2求得k2,（2）设求得:k13215517.1N/m,第6章多自由度系统的振动,多自由度系统指的是可以用有限个自由度描述的振动系统。一般来说，一个n自由度的振动系统，其广义位移可以用n个独立坐标来描述，其运动规律通常可用n个二阶常微分方程来确定。多自由度振动系统的很多概念和研究方法在两自由度系统中已经讨论。,建立振动系统运动微分方程的方法和上章一样，包括一般的动力学方法、影响系数法（刚度影响系数和柔度影响系数）、拉格朗日方程和能量方法等。,6.1多自由度系统的运动微分方程式,6.1多自由度系统的运动微分方程式,【T6-10】求系统的微振动微分方程。,6.1多自由度系统的运动微分方程式,6.1多自由度系统的运动微分方程式,例：用直观目测方法直接形成标准M-K-C自由振动系统的M、K。,作业：T6-9，6-11,6.1多自由度系统的运动微分方程式,无阻尼自由振动的运动方程为,6.2.1主振型方程式6.2.2特征值和特征向量,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,利用两自由度系统的分析结果，假设方程解的形式为,这里：X为振幅向量，w为固有频率，a为初相位。代入振动方程可得：,K-w2M称为特征矩阵。要使上式有解，必须使其系数行列式为零：,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,上式称为频率方程或特征方程。由此可求出n个特征根w2。,将每个特征根wi（固有频率）代入广义特征值问题(Kw2M)X=0,可得到相应的非零向量X(i),称为特征矢量,或称特征向量、固有振型、固有向量、模态向量等。显然:,和两自由度一样，由上式只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小。固有频率和特征向量只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励和初始条件无关，它们都是系统的固有属性。,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,例T6-10中：设m1m31，m22，r1，k1k2k31。求固有频率和振型。,6.1多自由度系统的运动微分方程式,解：代入数值得,代入|K-w2M|=0得：,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,理论求解很困难，一般通过试算或利用工具软件，如Excel、MATLAB、Mathematica等。,利用Excel计算固有频率步骤：(1)定义变量。如在A1格“插入”-“名称”-“定义”w(2)输入公式。如在A2格输入=w3-5*w2+6*w-1(3)“工具”-“单变量求解”(只能求第一固有频率)(4)高阶特征值的求解要用“工具”-“规划求解”固有频率为：,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,1.振型的基准化由于固有振型X(i)只是振幅的比例关系，各阶振型均有一个未确定的常数比例因子。通常假设振型的某个元素为1，则其它元素就可以表示为此元素的倍数，这种方法或过程就是振型的基准化。一般假设振型的第一个元素为1。,6.2.3振型的基准化和标准化,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,分别代入(K-w2M)X=0得：,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,作业：T6-13,2.振型的标准化另外一种确定振型各元素数值的方法是以某个限制条件来确定振型中的常数因子。通常规定XN(i)满足条件,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,满足这个限制条件的振型XN(i)称为标准化（或正规化、归一化）的振型。,对方程(Kw2M)XN=0两边左乘XN(i)T可得到,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,注意：这里的XN(i)均为正规化后的振型，而不是求解的原始主振型X(i)。,3.标准化振型与主振型的关系将主振型X(i)进行如下运算：,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,Mi称为广义质量（主质量、模态质量）。设X(i)ciXN(i)，代入上式有：,所以,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,6.2.4自由振动的运动规律,求出特征方程的n个特征值和对应的特征向量后，即得到振动方程的n个线性无关的特解，系统按任意一个固有频率作自由振动，称之为主振动，则第i阶主振动为,(i1,2,n),因而方程的通解应是上述特解的线性组合,或写为,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,其中常数ci、ai、Ai、Bi(i1,2,n)由初始条件确定。例如给出t0时的位移向量x0和速度向量v0，则得到含有2n个方程的方程组,或,【T6-26】图示系统中,m1m2m3m,k1k2k3k,设初始位移为1,初始速度为0,求初始激励的自由振动响应。,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,解：,则响应为：,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,将振型代入并展开：,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,前面的例题已经求得：,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,6.2无阻尼自由振动的特征值问题,解出各系数即可,代入初始条件得：,作业：T6-28,由广义特征值问题(Kw2M)X=0知,6.3主振型的正交性,6.3主振型的正交性,两边分别左乘X(j)T和X(i)T得到,与第一式相减得：,由于K和M都是对称阵，上面第二式可写为,6.3主振型的正交性,显然也有：,（ij）,结论：当刚度矩阵K和质量矩阵M都是对称阵时，n个固有频率对应的固有振型之间关于K和M都是正交的。,所以：,（ij）,6.3主振型的正交性,这里的Mi和Ki是两个实常数，分别称为系统的主质量和主刚度（或称模态质量和模态刚度）。由此可得到：,当ij时：,6.3主振型的正交性,6.4主坐标,变换矩阵即振型矩阵，就是各阶振型组成的方阵,6.4.1变换矩阵,6.4主坐标,6.4主坐标,6.4.2广义质量和广义刚度的对角矩阵,广义质量（主质量、模态质量）矩阵Mp和广义刚度（主刚度、模态刚度）矩阵Kp：主对角线元素为相应的主质量和主刚度，其它元素为零。即,由主质量矩阵Mp和主刚度矩阵Kp可得到如下关系：,6.4主坐标,对振动方程用振型矩阵进行变换,6.4.3用主坐标表示的运动方程,代入方程后左乘QT得,或,（i1，2，n）,6.4主坐标,这样原方程就变成了n个独立的(解耦的)固有频率为wi的简谐振动，这组广义坐标Z称为主坐标。,1.标准振型矩阵即由标准振型构成的方阵：,标准振型（正则振型）为,6.4主坐标,6.4.4标准坐标,则有如下关系：,同理有,6.4主坐标,由于,还有如下关系：,2.标准坐标（正则坐标）下的方程对振动方程用正则振型矩阵进行坐标变换,代入方程得到,（i1，2，n）,这组广义坐标ZN称为标准坐标(正则坐标)。,6.4主坐标,设振动方程的初始条件为x0和,6.5系统对初始激励的响应,6.5系统对初始激励的响应,对其进行正则坐标变换，转换为标准坐标（正则坐标）下的初始条件:,利用单自由度的响应公式可得到初始激励下的正则坐标响应:,（i1，2，n）,再变换到广义坐标x下的响应,上述过程也可以在主坐标下进行。,6.5系统对初始激励的响应,无阻尼系统对初始激励的响应分析步骤:（1）建立振动方程，确定质量矩阵M和刚度矩阵K;（2）求固有频率和振型;（3）确定标准（正则）振型矩阵;（4）对初始条件标准（正则）化;（5）计算标准（正则）坐标初始激励响应;（6）计算广义坐标初始激励响应。,6.5系统对初始激励的响应,【T6-26】m1m2m3m，k1k2k3k,设初始位移为1，初始速度为0，用标准坐标变换方法求初始激励下的自由振动响应。,解：（1）,6.5系统对初始激励的响应,（2）,6.5系统对初始激励的响应,（3）求正则振型矩阵：,6.5系统对初始激励的响应,6.5系统对初始激励的响应,（4）对初始条件正则化：,6.5系统对初始激励的响应,（5）正则坐标下的初始激励响应,6.5系统对初始激励的响应,（6）广义坐标下的初始激励响应,作业：用本节方法做T6-29,6.5系统对初始激励的响应,6.6无阻尼系统的强迫振动,6.6无阻尼系统的强迫振动,求解强迫振动响应的方法是振型迭加法或称模态分析方法，其基本思想是：利用振型矩阵，把描述系统运动的广义坐标变换到模态坐标（主坐标或正则坐标），把运动方程变换成n个独立的方程，求得系统在每个模态坐标下的响应，然后再得到系统在一般广义坐标下的响应。这种坐标变换过程，实际上是将振型进行组合迭加的过程和方法。,对方程进行标准坐标变换x=QNZN并左乘QNT,利用其正交关系可得到：,（i1，2，n）,或写为,n自由度无阻尼强迫振动的运动方程为,6.6无阻尼系统的强迫振动,再考虑前面给出的初始条件的响应,上述方程已经解耦，所以可以利用单自由度的概念和方法计算标准坐标下的响应。稳态响应为,6.6无阻尼系统的强迫振动,（i1，2，n）,再变换到广义坐标x下,上述过程也可以在主坐标下进行。,则标准坐标下的总响应为,6.6无阻尼系统的强迫振动,无阻尼系统响应分析步骤:（1）建立振动方程，确定质量矩阵M和刚度矩阵K;（2）求固有频率和振型;（3）确定标准振型矩阵;（4）对初始条件标准化;（5）对激励标准化;（6）计算标准坐标响应;（7）计算广义坐标响应。,6.6无阻尼系统的强迫振动,【T6-38】弹簧支撑的两个刚性均质杆，质量均为m，在B点用铰链连接,l3m，若C点下面弹簧支撑点沿y轴方向按谐波函数yg=dsinwt运动。选B点的铅垂位移y和两杆绕B点的转角为广义坐标，求系统的稳态响应。,6.6无阻尼系统的强迫振动,代入拉格朗日方程得,6.6无阻尼系统的强迫振动,解：（1）用拉格朗日方程,6.6无阻尼系统的强迫振动,则,6.6无阻尼系统的强迫振动,（2）求固有频率和振型,求得,6.6无阻尼系统的强迫振动,w1代入,求得,同理,6.6无阻尼系统的强迫振动,（3）求标准振型矩阵,6.6无阻尼系统的强迫振动,同理,6.6无阻尼系统的强迫振动,（5）标准坐标下的响应,利用单自由度系统正弦激励下的响应得,6.6无阻尼系统的强迫振动,（4）对激励标准化,6.6无阻尼系统的强迫振动,同理,6.6无阻尼系统的强迫振动,（6）广义坐标下的响应,作业：T6-33,这里,展开代入数据即可,6.6无阻尼系统的强迫振动,6.7有黏滞阻尼系统的强迫振动,6.7有黏滞阻尼系统的强迫振动,n自由度系统的振动微分方程为,其中的质量矩阵M、刚度矩阵K和阻尼矩阵C通常为实对称矩阵。阻尼矩阵通过上节的坐标变换一般不能化为对角阵，即方程不能解耦。因此多自由度有阻尼振动系统的求解非常困难。,如果阻尼矩阵C是质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合，则称之为比例阻尼。,其中a和b为常数。则对阻尼矩阵进行正则变换后得,6.7有黏滞阻尼系统的强迫振动,这样，对振动方程进行正则变换后得到,（i1，2，n）由于方程已经解耦，则可直接利用单自由度的理论求解正则坐标下的稳态响