第十讲 期权的希腊值（课堂PPT）

第十讲期权的希腊值,简单对冲DeltaThetaGamma其他希腊值与推广,1,期权的希腊值,例某银行卖出了100,000份无股息股票的欧式看涨期权，收入为300,000美元。令0=49，K=50，r=5%，=20%，T=20周，=13%由布莱克-斯科尔斯-默顿模型可知，期权的价格为240,000美元为了将利润锁定在60,000美元，银行该如何对冲风险？,2,简单对冲,裸露头寸和带保头寸裸露头寸：对期权头寸不采取任何任何对冲策略裸露头寸在期权被执行时费用高昂，风险巨大带保头寸：在卖出期权的同时买入相应数量的标的股票，在上题中买入10000股股票即为带保头寸策略带保头寸在期权没有被执行时损失很大止损交易策略该银行在股票价格刚刚高于执行价格50美元时马上买入10000股股票，在股票价格低于50美元时马上卖出10000股股票核心思想是期权处于虚值状态时采用裸露头寸策略，处于实值状态时采用带保头寸策略,3,简单对冲,止损交易策略如图，止损交易策略在1时刻买入股票、2时刻卖出股票、3时刻买入股票、4时刻卖出股票、5时刻买入股票并在T时刻交割,4,简单对冲,止损交易策略不考虑贴现，卖出期权且对冲风险的费用Q=max(0K,0)因为对冲者的现金流发生在不同时刻，需要贴现；股票的买入与卖出不可能总是正好发生在价格等于K的时刻;所以，Qmax(0K,0)为了减小原因引起的误差，可以以K+的价格买入股票，K的价格卖出股票。每一笔买入与卖出股票的费用为2，可以通过增大价格观测与交易的频率来使得变的更小采用蒙特卡洛模拟法可以检验止损交易策略的整体效果：,注：对冲的表现以期权对冲费用的标准差与期权的布莱克-斯科尔斯-默顿价格的比率来衡量,5,第十讲期权的希腊值,简单对冲DeltaThetaGamma其他希腊值与推广,6,Delta,Delta对冲,Delta(D)为期权价格变动与其标的资产价格变动的比率。,可以用如下方式来对冲风险：进入1000份期权的短头寸；买入600股股票期权头寸的盈利（亏损）被股票头寸的亏损（收益）所抵消。,7,Delta,Delta对冲,=,c是看涨期权的价格，S是股票的价格。该式说明一份期权短头寸的Delta被份股票长头寸的Delta抵消，整体Delta为0。Delta为0的头寸为Delta中性随着股票价格和时间的变化，Delta也会发生变化。因此，对冲策略需要调整。动态对冲与静态对冲（“保完即忘”）Delta中性的头寸组合的收益率等于（瞬时）无风险利率为期权定价,8,Delta,欧式股票期权的Delta,欧式无股息股票看涨期权的Delta为N(d1)对看涨期权长头寸做对冲时，对买进的每个期权需要持有N(1)股股票的短头寸；对看涨期权短头寸做对冲时，对卖出的每个期权需要持有N(1)股股票的长头寸欧式无股息股票看跌期权的Delta为N(d1)1看跌期权的Delta为负，说明看跌期权的长头寸应该由标的股票的长头寸对冲，看跌期权的短头寸应该由标的股票的短头寸对冲,1.0,0.0,1.0,0.0,9,Delta,欧式股票期权的Delta,实值期权、平值期权和虚值期权的Delta与期权期限之间的变化关系,虚值,平值,实值,10,Delta,欧式股票期权的Delta,例考虑最开始的例子中的无股息股票看涨期权，0=49，K=50，r=5%，=20%，T=20周（0.3846年）1=ln（49/50）+0.05+0.22/20.38460.20.3846=0.0542Delta为N（1），即0.522。当股票价格为S时，期权价格变化为0.522S。,11,Delta,对冲的动态模拟,第一种情景分析：采用之前的例题做Delta对冲的例子，假设每星期平衡一次,Delta对冲模拟（期权为实值期权；对冲成本为263300美元）,12,Delta,对冲的动态模拟,第二种情景分析,Delta对冲模拟（期权为虚值期权；对冲成本为256600美元）,13,Delta,对冲的动态模拟,根据两种情况的模拟结果，贴现后对冲成本很接近布莱克-斯科尔斯-默顿的理论价格24000美元，但并不完全一致提高对冲交易的频率，对冲费用与理论值的差别会减小采用蒙特卡洛模拟法可以检验不同调整频率下的对冲效果,14,Delta,Delta对冲的费用对期权实行Delta对冲时涉及“买高卖低”的交易规则。证券组合的Delta以某一单一资产为标的资产的期权或其他衍生产品组合的Delta定义为其中为证券组合的价值证券组合的Delta值可由证券组合内各个单一期权的Delta来计算。如果一个交易组合由数量为（1）的期权组成,那么证券组合的Delta值为=1其中为第的期权的Delta。当Delta为0时，证券组合为Delta中性,15,第十讲期权的希腊值,简单对冲DeltaThetaGamma其他希腊值与推广,16,Theta,衍生产品（或衍生产品组合）的Theta(Q)定义为证券组合价值变化与时间变化的比率对于一个无股息股票的欧式看涨期权Q（看涨）=-0(1)2rT（2）其中1=ln0/+2/222=ln0/+2/22=1=122/2为标准正态分布的函数对于一个无股息股票的欧式看跌期权Q（看跌）=-0(1)2+rT（2）在以上公式中时间以年为单位。通常在计算Theta时，时间是以天为单位。为了计算每日历天的Theta，上面计算Theta的公式需除以365，要计算每交易日的Theta,则需除以252期权Theta通常为负,17,Theta,Theta,0,0,虚值,实值,平值,看涨期权的Theta与标的资产关系的曲线,在三种不同情况下Theta随时间变化的曲线,18,第十讲期权的希腊值,简单对冲DeltaThetaGamma其他希腊值,19,Gamma,Gamma,Gamma(G)是指交易组合Delta(D)的变化与标的资产价格变化的比率。它等于交易组合关于标的资产价格的二阶偏导数：G=22期权价格与标的资产价格曲线的曲率会导致Delta对冲的误差Gamma值正是用来度量这一曲率,S,C,股票价格,S,看涨期权价格,C,C,20,Gamma,Gamma,假定S为在很小时间区间t内股票价格的变化，为相应的交易组合价格变化。对于一个Delta中性的交易组合，当忽略高级项后=Qt+12G2,a)交易组合有较小的正Gamma,b)交易组合有较大的正Gamma,c)交易组合有较小的负Gamma,d)交易组合有较大的负Gamma,Delta中性交易组合的与S之间的关系图,21,Gamma,Gamma,标的资产、远期以及期货的Gamma均为零。当证券组合中含有标的资产及其他衍生资产时，组合的Gamma值就是各期权Gamma值与其数量的乘积G=1G标的资产Gamma为0，不能用于改变交易组合的Gamma。要改变交易组合的Gamma必须采用价格与标的资产价格呈非线性关系的产品，如期权假设一个Delta中性的交易组合的Gamma为G，某个期权的Gamma为G，如果将数量的期权加入交易组合中，则新交易组合Gamma为G+G,因此要使交易组合为Gamma中性，期权交易头寸应为=G/G。引入新期权很可能会改变交易组合的Delta，因此必须调整标的资产数量以保证新的交易组合Delta中性。随着时间变化还需要不断调整期权数量以使交易组合为Gamma中性,22,Gamma,Gamma,对于一个无股息股票的看涨与看跌期权，其Gamma为：G=10Gamma与期限和标的资产价格的关系：,股票价格,0,期限,平值,虚值,看涨期权Gamma与标的资产价格的关系,期权的Gamma与期权期限的关系,23,Gamma,Delta、Gamma和Theta之间的关系：,如果股票的连续股息收益率为q，那么由布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程可知，股票衍生产品组合满足：+rS+122222=因为Q=，=，G=22因此Q+1222G=对于Delta中性交易组合，=0，因此Q+1222G=,24,第十讲期权的希腊值,简单对冲DeltaThetaGamma其他希腊值与推广,25,其他希腊值与推广,Vega,Vega(n)是指交易组合价值变化与标的资产波动率变化的比率。V=持有标的资产的头寸可以改变Delta的大小，但不能改变Vega为了调整Gamma和Vega的值，必须持有期权或其他衍生产品的头寸。要使一个交易组合同时达到Gamma和Vega中性，就必须引入与标的产品有关的两种不同衍生产品才能达到目的,26,其他希腊值与推广,Vega,对于无股息股票的欧式看涨期权，Vega由以下公式给出：V=01,股票价格,0,期权Vega与股票价格的关系,27,其他希腊值与推广,Vega,例,为了使交易组合的Delta和Gamma保持中性，什么样的期权1头寸和标的资产头寸比较合适?答案：购买10,000个期权1，同时卖出6000个单位的标的资产。为了使交易组合的Delta和Vega保持中性，什么样的期权1头寸和标的资产头寸比较合适?答案：购买4000个期权1，同时卖出2400个单位的标的资产。,28,其他希腊值与推广,Vega,例,为了使交易组合的Delta、Gamma和Vega保持中性，什么样的期权1头寸、期权2头寸和标的资产头寸比较合适?求解方程5000+0.5w1+0.8w2=08000+2.0w1+1.2w2=0就得到w1=400、w2=6000。我们需要分别买入400个期权1及6000个期权2使得交易组合的Gamma和Vega为中性。同时必须卖出3240份标的资产才能使交易组合的Delta为中性。,29,其他希腊值与推广,Rho,Rho为交易组合价值变化与利率变化的比率这一变量用于衡量当其他变量保持不变时，交易组合对于利率变化的敏感性对于无股息股票的欧式看涨期权，rho（看涨）=rT2对于无股息股票的欧式看跌期权，rho（看跌）=rT2,30,其他希腊值与推广,公式的推广,收益率为q的资产上欧式期权的希腊值,31,其他希腊值与推广,公式的推广,远期合约的Delta无股息股票的远期合约长头寸的Delta为1.0连续股息收益率为q的资产的远期合约Delta为q期货的Delta无股息股票的期货的Delta为q标的资产的股息收益率为q，期货合约的Delta等于e(rq)T因此，Delta对冲时需要的期货头寸等于e(rq)T乘以相应即期合约中所需要的头寸。,32,其他希腊值与推广,对冲的实现,期权交易员常常要确保，交易组合至少在一天中是Delta中性的。但保证Gamma和Vega为0就比较困难无论机会在什么时候出现，他们都会增加Gamma和Vega。规模经济：随着交易组合规模的增加，组合中每份期权会越来越便宜。,33,其他希腊值与推广,对冲与构造合成期权,构造合成期权是指持有一定数量的标的资产