常数项级数的审敛法（课堂PPT）

一、正项级数及其审敛法,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,11.2常数项级数的审敛法,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、正项级数及其审敛法,正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.,正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.,这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的,而单调有界数列是有极限.,下页,定理1(正项级数收敛的充要条件),定理2(比较审敛法),推论,下页,解,下页,定理2(比较审敛法),设un和vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数vn收敛,则级数un收敛;若级数un发散,则级数vn发散.,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.,时,2)若,设un和vn都是正项级数,且unkvn(k0,nN).若级数vn收敛,则级数un收敛;若级数un发散,则级数vn发散.,p级数的收敛性,证,下页,定理2(比较审敛法),调和级数与p级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,定理3(比较审敛法的极限形式),下页,解,下页,解,定理3(比较审敛法的极限形式),下页,收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散,定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法),解,所以根据比值审敛法可知所给级数收敛,所以根据比值审敛法可知所给级数发散,下页,解,收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散,定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法),提示:,所以根据比值审敛法可知所给级数收敛,下页,解,收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散,定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法),讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,下页,定理5(根值审敛法柯西判别法),收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散,所以根据根值审敛法可知所给级数收敛,因为,解,定理5(根值审敛法柯西判别法),收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散,所以根据根值审敛法可知所给级数收敛,因为,解,下页,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,证明级数,收敛于S,似代替和S时所产生的误差.,解:,由定理5可知该级数收敛.,令,则所求误差为,并估计以部分和Sn近,定理6(极限审敛法),因为,解,根据极限审敛法知所给级数收敛,下页,定理6(极限审敛法),因为,解,根据极限审敛法知所给级数收敛,首页,设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由比较判敛法可知,收敛.,注意:,反之不成立.,例如,收敛,发散.,1.判别级数的敛散性:,解:(1),发散,故原级数发散.,(2),发散,故原级数发散.,二、交错级数及其审敛法,交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.,下页,例如,二、交错级数及其审敛法,交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.,定理7(莱布尼茨定理),(1)unun1(n123),则级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值|rn|un1,下页,这是一个交错级数.,解,由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和su11,首页,则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|un1.,定理7(莱布尼茨定理),因为此级数满足,例12,收敛,收敛,用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,三、绝对收敛与条件收敛,绝对收敛与条件收敛,下页,例如,三、绝对收敛与条件收敛,绝对收敛与条件收敛,定理8(绝对收敛与收敛的关系),应注意的问题,下页,解,下页,定理8(绝对收敛与收敛的关系),例13,例14.证明级数绝对收敛:,令,因此,收敛,绝对收敛.,结束,定