大学物理 刚体力学（课堂PPT）

,刚体力学,第三章,主讲：姜贵君,1,第一节刚体定轴转动的转动定律,一、刚体运动的描述,1.刚体,刚体是理想模型,特点,(1)是一个质点组（刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元。）,(2)组内任意两点间的距离保持不变。,在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。,2,2.刚体的运动,刚体的运动形式：平动、转动。,（1）平动若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。,3,（2）转动刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动，则称刚体作转动，该直线称转轴。,转轴,瞬时转轴,非定轴转动,固定转轴,定轴转动,转动又分定轴转动和非定轴转动。,4,刚体的平面运动（滚动）,5,6,转动平面,转轴,参考方向,（1）角位置和角位移,3.刚体的定轴转动,7,（2）角速度,角速度方向用右手螺旋法则确定。,定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向。,用正负号表示方向,8,（4）角量与线量的关系,（3）角加速度,角加速度方向与相同。,9,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动。,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,（5）匀变速转动公式,10,飞轮30s内转过的角度,例：一飞轮半径为0.2m、转速为150rmin-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动。试求（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。,解,t=30s时，,飞轮做匀减速运动,(1)t0=0s时，,11,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,12,例：在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000rmin-1。已知转子的角加速度与时间成正比。问在这段时间内，转子转过多少转？,令，即，积分,得,当t=300s时，,解：t0=0s时，0=0，0=0,13,转子的角速度,由角速度的定义,得,在300s内转子转过的转数,所以,14,二、刚体定轴转动的转动定律,是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、方向和作用点对物体转动的影响。,1.力矩,（1）力矩的定义式,（2）物理意义,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,力矩,15,1）若力不在垂直于转轴的平面内：,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,16,O,3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,17,对mi用牛顿第二定律：,切向分量式为：,外力矩,内力矩,2.转动定律,18,对所有质点求和：,用M表示合外力矩,则有:MJ,转动惯量,矢量式:,19,转动定律MJ刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,2.力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。,说明：,1.与地位相当，m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。,3.力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，所以用正负号表示方向。,20,物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。,3、转动惯量,(1)定义,(2)与转动惯量有关的因素,刚体的质量及其分布,转轴的位置,在（SI）中，J的单位：kgm2,(3)转动惯量的计算,质量离散分布的刚体,21,若质量连续分布,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,为质量的线密度,为质量的体密度,为质量的面密度,注意,只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。,22,例：求质量为m半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,在环上任取一小线元dl,其质量,23,解:,将圆筒分为一系列的圆环，质量为dm,例：求质量为m半径为R的薄圆筒绕中心轴的转动惯量。（不计厚度）,圆环与圆筒的转动惯量公式相同,24,例：求质量为m，半径为R，厚为h的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆筒,可见，转动惯量与h无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是。,25,例：求长为L质量为m的均匀细杆对图中不同轴的转动惯量。,解：取轴处为原点建立一维坐标系如图所示,A，C相距L/2,26,(4)平行轴定理,推广:若有任一轴与过质心的轴平行且相距d，刚体对其转动惯量为:,称为平行轴定理。,J:刚体绕任意轴的转动惯量,Jc:刚体绕通过质心的轴,d:两轴间垂直距离,m:刚体的质量,27,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,28,(1)飞轮的角加速度,(2)如以重量G=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,例,求,一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图),29,解(1),(2),两者区别,30,例题3-6一个飞轮的质量m=60kg，半径R=0.25m，正在以0=1000rmin-1的转速转动。现在要制动飞轮，要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为k=0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。求闸瓦对飞轮的压力N。,解:,0=1000rmin-1104.7rads-1,飞轮在制动时的角加速度为,t0=0s时,t=5s时=0,负值表示与0的方向相反。,31,闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩为,根据刚体定轴转动定律得,将,代入得,32,例题3-7图3-14所示为测量刚体转动惯量的装置。待测的物体装在转动架上，细线的一端绕在半径为R的轮轴上，另一端通过定滑轮悬挂质量为m的物体，细线与转轴垂直。从实验测得m自静止下落高度h的时间为t。忽略各轴承的摩擦、滑轮和细线的质量，细线不可伸长，并预先测定空转动架对转轴的转动惯量为J0。求待测刚体对转轴的转动惯量。,图3-14,33,以待测刚体和转动架为整体，设待测刚体的转动惯量为J，由绕定轴转动的转动定律可得,由细线不可伸长以及m自静止下落，有,上述各式联立求解得,从已知数据J0、R、h、t即可算出待测的转动惯量J来。,解：隔离物体m，设线中的张力为T，物体m的加速度为a，由牛顿第二定律可得,34,1.力矩的功,-力矩的功,第二节刚体定轴转动的动能定理,一、力矩的功与转动动能,35,若力矩是恒量:,比较：,例题3-8,力矩的功就是力的功。,36,例题3-8一根质量为m、长为l的均匀细棒OA，可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时重力所做的功。,解：在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支承力N通过O点，所以支承力N的力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，大小等于mgcosl/2。当棒转过一个极小的角位移d时，重力矩所做的元功是,重力矩所做的功为,重力矩做的功也就是重力做的功。,37,2.转动动能,设转动角速度为，第i个质元mi的速度为:,设系统包括有N个质量元,其动能为,各质量元速度不同，但角速度相同,38,整个刚体的动能为:,刚体转动动能,比较：,结论,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,39,40,例题一质量为m，半径为R的匀质球体，从倾角为的斜面上距地面h高处无滑动地滚下来，如图3-6所示。试求球体滚到地面时的角速度。,解：设球体质心的速率为vc，它绕球体质心的角速度为。由于球体在下滚过程中，只作滚动没有滑动，故摩擦力不做功，所以球体和地球系统的机械能守恒，应有,由于是纯滚动，则有,均匀分布的球体对质心轴的转动惯量为,解得,41,刚体定轴转动的动能定理:合外力矩做的功等于刚体转动动能的增量.,二、刚体定轴转动的动能定理,比较,质点的动能定理,刚体定轴转动的动能定理,42,例题装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为R，重锤质量为m2，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求重锤下落h高度时的速率v.(不计阻力，不计绳的质量及伸长),h,R,43,解:方法1.利用质点和刚体转动的动能定理求解.,由质点动能定理,由刚体动能定理,联立得,再由,44,方法2.利用系统的动能定理求解,将转动柱体、下落物体视作一个系统,再由,联立得,h,R,45,例题3-9一个长为l、质量为m的均质细杆AB，用摩擦可忽略的柱铰链悬挂于A处。如欲使静止的杆AB自铅垂位置恰好能转至水平位置，求必须给杆的最小初角速度。,解：取杆AB为研究对象，作用于杆的力有铰链处的支承力(不做功)和重力。设必须给杆的最小初角速度为0，由刚体定轴转动的动能定理,且,得,46,例题一个长为l、质量为m的均质细杆竖直放置，其下端用摩擦可忽略的铰链O相接，如图所示。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动。求细杆转到与竖直线呈角时的角速度。,解：细杆由竖直放置转到与竖直线呈角，此时杆具有的转动动能为,由刚体定轴转动的动能定理得,解得,47,质点m以速率v、角速度绕z轴转动,z轴垂直于转动平面xoy。定义质点m绕z轴的动量矩角动量为:,方向:如图所示;,大小:,第三节刚体定轴转动的角动量守恒定律,一、刚体定轴转动的角动量定理,1.角动量,（1）质点的角动量（动量矩）,质点绕固定轴做圆周转动,则有:,单位：,48,刚体以角速度绕z轴转动。刚体上任一质元绕z轴作圆周运动的角动量为：,（2）刚体定轴转动的角动量,由于每个质元对z轴的角动量方向相同,刚体对z轴的角动量为:,角动量是描述刚体转动状态的物理量,矢量式:,49,2.角动量定理,由转动定律:,冲量矩表示合外力矩在t0t时间内的累积作用。单位：牛顿米秒,角动量定理:作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的改变量。,50,例题水平桌面上有一长l=0.3m、质量m=3.0kg的均质细杆，细杆可绕一端O点且垂直桌面的固定光滑轴转动。已知杆与桌面间的滑动摩擦系数=0.20，细杆绕一端转动的初角速度0=49rads-1。求棒从开始运动到停下来所需时间。,解：在棒上取距O点为r，长为dr的质量元dm，则,棒运动时对O点的摩擦阻力矩为,设棒开始运动到停止所用时间为t，由角动量定理可写出,式中细杆绕轴O的转动惯量,即,解得,51,习题3-12有一个均匀薄圆盘，质量为m，半径为R，可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动。圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为。若用外力推动它使其角速度达到时，撤去外力，求：（1）此后圆盘还能继续转动多长时间？（2）上述过程中摩擦力矩所做的功。学习指导：3-13,解：（1）,在盘上取半径为r的圆环形质量元,对转轴的摩擦力矩,由角动量定理可写出,（2）根据动能定理，摩擦力的功为,解得,52,刚体角动量守恒定律:当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保持不变。,说明：若系统由几部分构成，总角动量守恒是指各部分相对同一转轴的角动量；2.对微观粒子和高速运动也适用，是物理学中的基本定律之一。,二、刚体定轴转动的角动量守恒定律,53,角动量守恒定律的两种应用：,（1）转动惯量保持不变的单个刚体。,（2）转动惯量可变的物体。,花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速.,54,解：由于从子弹进入棒到二者开始一起运动所经过的时间极短，在这一过程中棒的位置基本不变，即仍然保持竖直。因此，对于木棒和子弹系统，在子弹冲入过程中，系统所受的外力(重力和轴的支持力)对于轴O的力矩都是零。这样，系统对轴O的角动量守恒。由角动量守恒可得,例题3-13一根长l，质量为M的均匀直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一个子弹，质量为m，以水平速度射入棒的下端而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的角速度。,55,例如图所示，一静止的匀质圆盘半径为R，质量为M=2m，圆盘可绕垂直于平面的水平固定光滑轴转动。有一质量为m的粘土块从距圆盘h处落下，粘在圆盘P点上，已知最初POX=。求：（1）粘土块与圆盘碰撞后瞬间盘的角速度0；（2）粘土块与圆盘一起由P点转到x轴位置时圆盘的角速度和角加速度。,解：（1）m下落到P点前，由,解得,粘土块落在圆盘上，可视为完全非弹性碰撞，且碰撞时间极短，重力的冲量矩可忽略不计。在碰撞前后，粘土块和圆盘系统的角动量守恒，故有,解得,56,（2）对粘土块、圆盘和地球组成的系统，只有重力做功，机械能守恒。令x轴为零势能面，故有,将代入上式，得到粘土块与圆盘一起