三棱锥顶点射影问题

三棱锥顶点射影问题,三角形的“心”1、重心:三条中线的交点2、垂心:三条高的交点3、外心:三条边垂直平分线的交点（或说外接圆的圆心）4、内心:三个角平分线的交点（或说内接圆圆心）5、中心（正特有）正的重心、垂心、内心、外心重合的点,例1：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O,OA=OB=OC,O为三角形ABC的外心,例2：已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O为三角形ABC的垂心,D,O,例3：已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？,P,A,B,C,O为三角形ABC的内心,O,E,F,典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O,(1)P到三顶点距离相等,(3)P到三边AB、BC、AC距离相等,(2)侧棱两两垂直,外,垂,内,例：四面体P-ABC中，,若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直,O是垂心,(1)若PA=PB=PC，则O是ABC的.,P,A,B,C,O,外心,关于三角形的四心问题,设O为三棱锥PABC的顶点P在底面上的射影.,综合练习：,(2)若PA=PB=PC,C=900,则O是AB的_点.,中,P,A,B,C,O,关于三角形的四心问题,综合练习：,垂心,E,F,P,A,B,C,O,(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是ABC的.,关于三角形的四心问题,综合练习：,E,F,P,A,B,C,O,(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是ABC的_.,外心,关于三角形的四心问题,综合练习：,A,B,C,D,证明：,例：在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线ACBD。,练习,例1、已知直角ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，求证：PD平面ABC.,证明：PA=PB，D为AB中点PDAB，连接CD，D为RtABC斜边的中点CD=AD,又PAPC,PD=PDPADPCD而PDABPDCD,CDAB=DPD平面ABC,例2、如图平面、相交于PQ，线段OA、OB分别垂直平面、，求证：PQAB,证明：OAPQOAPQOB,PQOBPQ又OAOB=0PQ平面OAB而AB平面OABPQAB,S,A,B,C,H,S,A,B,C,H,1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC求证：AC平面BDM,M,A,B,C,D,O,3.如图，圆O所在一平面为，AB是圆O的直径，C在圆周上,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC,例：平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PAPBPC，若点O是ABC的外心，求证：PO平面ABC.,【解】如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PAPBPC，所以PDAB，PEBC，,因为O是ABC的外心，所以ODAB，OEB