等差数列前n项和的性质及应用.ppt

等差数列前n项和的性质及应用,2018年3月,知识回顾：,1.an为等差数列.，an=，更一般的，an=，d=.,an+1-an=d,2an+1=an+2+an,a1+(n-1)d,an=an+b,a、b为常数,am+(n-m)d,2.等差数列前n项和Sn=.,复习：,等差数列的前n项和公式,1、通项公式与前n项和的关系：,例1、已知数列an的前n项和为，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？,分析：,所以当n1时，,当n=1时，,也满足上式。,当n2时，,新课1,令p+q+r=2p(p+q)，得r=0。,等差数列的前n项的最值问题,一、,例题：已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值。,分析：,等差数列的前n项的最值问题,1：数列an是等差数列，,（1）从第几项开始有,（2）求此数列前n项和的最大值,练习：,小结：an为等差数列，求Sn的最值。,已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,能力提升,已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,an=13+(n-1)(-2)=2n+15,由,得,已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=20,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,等差数列an前n项和的性质,(2),Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,作业求集合的元素个数，并求这些元素的和.,作业1、已知等差数列25,21,19,的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.,2：已知在等差数列an中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+|a20|的值,课堂小结,1.根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求的最值.,3.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp(mp),则Sp+m=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶S奇=,n2d,0,nd,(m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则S2n-1=(2n1)an(an为中间项),此时有:S偶S奇=,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5:为等差数列.,an,新课5,倒序法求和,倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。,倒序法求和,例1.若,，则,的值为。,【解析】,裂项法求和,所谓”裂项法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的两,项彼此相消,就可以化简后求和.,一些常用的裂项公式:,裂项相消法,利用数列周期性求和,有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和.关,键之处是寻找周期。,例3：在数列,中，,求,解：由