逆矩阵及伴随矩阵

河南财经学院信息学院廖扬,第四节逆矩阵及伴随矩阵,1逆矩阵（P110，定义2.9）,一基本概念,1.互逆矩阵可换，是同阶方阵。,即：若成立，则也成立。,2.逆矩阵唯一。,3.零矩阵不可逆；单位矩阵与其自身互为逆阵。,4.,注：,2奇异矩阵：,【P111，例2】,【P111，例3】,【例】,河南财经学院信息学院廖扬,3伴随矩阵,二逆矩阵存在定理,1.矩阵可逆的充要条件是,2.若A可逆，则,【P114，例4】,【P115，例5】,【P117，例6】,河南财经学院信息学院廖扬,三转置矩阵、逆矩阵、伴随矩阵的运算性质,【例】,河南财经学院信息学院廖扬,使得呢?,使得,即,对于任意非零的数，如果存在另一个数，,倒数：,则说是的倒数.,一、逆矩阵产生的背景,矩阵:,运算中的1，,矩阵，,在矩阵的运算中，,单位阵相当于数的乘法,那么，对于矩阵，是否存在另一个,河南财经学院信息学院廖扬,1、逆矩阵的概念,例如设,使得,则说矩阵是可逆的，,并把矩阵称为的一个,逆矩阵，,记作,对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，,定义2.4.1,河南财经学院信息学院廖扬,河南财经学院信息学院廖扬,事实上，若设和都是的逆矩阵，,则有,可得,所以的逆矩阵是唯一的。,河南财经学院信息学院廖扬,2奇异矩阵与非奇异矩阵,设,是奇异矩阵,是非奇异矩阵,河南财经学院信息学院廖扬,定义2,设为阶方阵，的行列式的元素的代数余子式所构成的矩阵的转置矩阵称为矩阵的伴随矩阵。,即,记为,3伴随矩阵,河南财经学院信息学院廖扬,解：,【P114，例4】,求的伴随矩阵。,河南财经学院信息学院廖扬,逆矩阵的存在定理：,证明：,若可逆，,矩阵可逆的充要条件是,且当A可逆时,河南财经学院信息学院廖扬,河南财经学院信息学院廖扬,按逆矩阵的定义得,牢记：,记住了吗？,河南财经学院信息学院廖扬,若可逆，则,证明：,河南财经学院信息学院廖扬,若可逆，则也可逆，,且,证明：,河南财经学院信息学院廖扬,若、是同阶可逆阵，则也可逆，,且,证明：,特别有：,（反序定律）,河南财经学院信息学院廖扬,证明：,求证,回顾,河南财经学院信息学院廖扬,求证,证明：,河南财经学院信息学院廖扬,求证,证明,河南财经学院信息学院廖扬,河南财经学院信息学院廖扬,若可逆，则也可逆，,且,证明：,求证,河南财经学院信息学院廖扬,求证,证明,河南财经学院信息学院廖扬,求证,证明,原命题得证,河南财经学院信息学院廖扬,【P111，例2】,证明矩阵,证明：,的逆矩阵为,故，原命题得证,河南财经学院信息学院廖扬,【P111，例3】,，求证A可逆，并求其逆矩阵.,证明：,故，A可逆，且,河南财经学院信息学院廖扬,【例】,可逆，并求它们的逆矩阵.,由,证明,河南财经学院信息学院廖扬,由,还可以得到,但是，等式右端为0的这个结论对于本题没有用处。我们希望等式右端应该为E或者kE。,河南财经学院信息学院廖扬,解：,【P115，例5】,河南财经学院信息学院廖扬,【P117，例6】,设A是非奇异矩阵，且AB=AC,求证：B=C,将AB=AC两端同乘以得,证明：由于A是非奇异矩阵，故存在。,即,从而,同理，A可逆时，由AB=O可得B=O。,即消去律成立,河南财经学院信息学院廖扬,【例】,设A的逆矩阵为