高一数学函数奇偶性的证明

函数的奇偶性,1,1,y=x2,-1,y=x-1,观察下列函数图象，总结这些函数图象的共性,图象关于y轴对称,y=x2,f(1)=_,f(-1)=_,f(2)=_,f(-2)=_,f(x)=x2,1,1,4,4,f(x0)=_,f(-x0)=_,f(x0)=f(-x0),y=f(x),你发现了什么？,x0,-x0,点A关于y轴的对称点A的坐标是_.,(x0，f(x0),点A在函数y=f(x)的图象上吗？,点A的坐标还可以表示为_.,(x0，f(x0),A(x0，f(x0),A,f(x)=x3,o,x0,P/(-x0,f(-x0),p(x0,f(x0),-x0,x0,-x0,观察下列函数图象，总结这些函数图象的共性,p(x0,f(x0),p(-x0,f(-x0),f(x0)=-f(-x0),根据下列函数图象，判断函数的奇偶性,奇函数,偶函数,偶函数,图象法,1,2,函数y=f(x)的定义域为A，对任意的，都有,函数y=f(x)的定义域为A，对任意的，都有,如果函数是奇函数或偶函数，就说此函数具有奇偶性偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称按函数奇偶性可以把函数分为四类：奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇又偶函数。,如何用数学语言来准确表述函数的奇偶性？,则称函数y=f(x)是偶函数,则称函数y=f(x)是奇函数,例1.判断下列函数的奇偶性,(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),=-x3-2x,=-(x3+2x)=-f(x),f(x)为奇函数,=2x4+3x2=f(x),f(x)为偶函数,定义域为R,解:,定义域为R,小结：用定义判断函数奇偶性的步骤:,先求定义域，看是否关于原点对称;再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,练习2.判断下列函数的奇偶性,(2)f(x)=-x2+1,f(x)为奇函数,f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1,f(x)为偶函数,解：定义域为x|x0,解：定义域为R,=-f(x),=f(x),(3).f(x)=5,解:f(x)的定义域为Rf(-x)=f(x)=5f(x)为偶函数,解:定义域为Rf(-x)=0=f(x)又f(-x)=0=-f(x)f(x)为既奇又偶函数,结论:函数f(x)=0(定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。,(4).f(x)=0,(5)f(x)=x2+x,解:f(-1)=0,f(1)=2f(-1)f(1)，f(-1)-f(1)f(x)为非奇非偶函数,解:定义域为0,+)定义域不关于原点对称f(x)为非奇非偶函数,判断下列函数的奇偶性：(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4),定义法,练习3.已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.,解：画法略,本课小结,、判断函数的奇偶性：先求定义域，看是否关于原点对称;再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。,4、按函数奇偶性可以把函数分为四类：奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇又偶函数。,1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(x)=f(x)f(x)为偶函数,2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对