高考数学第一轮复习幂函数与二次函数

第六节幂函数与二次函数,1.二次函数的解析式,ax2+bx+c,(h,k),2.二次函数的图象与性质,b=0,3.幂函数形如_(R)的函数叫幂函数，其中x是_，是常数.,y=x,自变量,4.幂函数的图象幂函数的图象如图：,5.幂函数的性质,R,R,R,0,+),x|xR且x0,R,0,+),R,0,+),y|yR且y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,(1，1),增,增,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)二次函数y=ax2+bx+c,xa,b的最值一定是.()(2)二次函数y=ax2+bx+c,xR，不可能是偶函数.()(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0).()(4)当n0时,幂函数y=xn是定义域上的增函数.(),【解析】(1)错误.当时，二次函数的最值不是.(2)错误.当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c是偶函数.(3)错误.幂函数y=x-1不经过点(0,0).(4)错误.幂函数y=x2在定义域上不单调.答案：(1)(2)(3)(4),1.已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()(A)f(x)=x2(B)f(x)=x-2(C)(D)f(x)=x【解析】设f(x)=xn,则即,2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,-3)上()(A)先减后增(B)先增后减(C)单调递减(D)单调递增【解析】选D.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，2m=0,m=0.则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.,3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解析式中指数k的值依次可以是()(A)(B)(D)【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则k11,故选A.,4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,3上是减函数，则实数a的取值范围是_.【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a,由题意知1-a3,a-2.答案：(-,-2,5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)0的解集为R，则实数m的取值范围是_.【解析】当m=0时，f(x)=-10恒成立，符合题意.当m0时，则有即-4m0,4a+b=0(B)a0,2a+b=0(D)af(1)中的等式可得a,b的关系,由不等式可确定a的正负.(2)解答和可根据对称轴与区间的关系,结合单调性直接求解;对于,应先将函数化为分段函数,画出函数图象,再根据图象求单调区间.,【规范解答】(1)选A.由f(0)=f(4)4a+b=0,所以b=-4a,由f(0)f(1)a+b0.,(2)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,则函数在-4,2)上为减函数,在(2,6上为增函数,f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4(-4)+3=35.函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6.,当a=-1时,其图象如图所示：又x-4,6,f(|x|)在区间-4,-1和0,1上为减函数,在区间-1,0和1,6上为增函数.,【规律方法】1.求二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得,2.与二次函数单调性有关的问题的解法根据二次函数的单调性，结合二次函数图象的开口方向及升、降情况对对称轴进行分析、讨论，进而求解.,【变式训练】(2013杭州模拟)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x-2,3时，求函数f(x)的值域.(2)若函数f(x)在-1,3上的最大值为1，求实数a的值.【解析】(1)当a=2时，f(x)=x2+3x-3f(x)max=f(3)=15,值域为,(2)对称轴为当即时，f(x)max=f(3)=6a+3,6a+3=1,即满足题意；当即时，f(x)max=f(-1)=-2a-1,-2a-1=1,即a=-1满足题意.综上可知或-1.,考向2二次函数的综合应用【典例2】已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,bR),xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，求f(x)的解析式，并写出单调区间.(2)在(1)的条件下，f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立，试求k的范围.,【思路点拨】(1)根据f(-1)=0及列方程组求解.(2)分离参数，转化为求函数的最值问题.,【规范解答】(1)由题意知f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.单调减区间为(-,-1,单调增区间为-1,+).(2)f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立，转化为x2+x+1k在-3,-1上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x-3,-1，则g(x)在-3,-1上递减.g(x)min=g(-1)=1.k1,即k的取值范围为(-,1).,【规律方法】1.一元二次不等式恒成立问题的两种解法(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离，转化为求具体函数的最值问题.(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质，列不等式组求解.2.一元二次方程根的分布问题解决一元二次方程根的分布问题，常借助二次函数的图象数形结合来解,一般从以下四个方面分析：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号.,【变式训练】已知函数f(x)=x2-2mx+2-m.(1)若不等式f(x)x-mx在R上恒成立,求实数m的取值范围.(2)记A=y|y=f(x),0x1,且A0,+),求实数m的最大值.,【解析】(1)由题意可得x2-2mx+2-mx-mx在R上恒成立,即x2-(m+1)x+2-m0恒成立,=(m+1)2-4(2-m)0,解得-7m1,故实数m的取值范围为-7,1.,(2)由题意可得,A=y|y=f(x),0x1=y|y0在0,1上恒成立,即x2-2mx+2-m0在0,1上恒成立.当m1时,y=f(x)=x2-2mx+2-m在0,1上的最小值为f(1)=-3m+30,m1.故此时m的值不存在.综上,实数m的取值范围为(-,1,故实数m的最大值为1.,考向3幂函数及其性质【典例3】(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y=f(x)的图象是(),(2)(2013杭州模拟)已知幂函数试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；若该函数f(x)经过点试确定m的值，并求满足条件f(2-a)f(a-1)的实数a的取值范围.,【思路点拨】(1)设出函数的解析式，根据幂函数y=f(x)的图象过点(4,2)，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象.(2)根据m2+m是奇数还是偶数确定函数的定义域；利用f(x)过点求出m的值，并利用f(x)的单调性解不等式.,【规范解答】(1)选C.设幂函数的解析式为y=xa,幂函数y=f(x)的图象过点(4，2)，24a,解得其定义域为0,+)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线y=x的上方，对照选项，故选C.,(2)m2+m=m(m+1)(mN*)，而m与m+1中必有一个为偶数，m2+m为偶数，函数的定义域为0,+)，并且该函数在0,+)上为增函数.,函数f(x)经过点即m2+m=2,解得m=1或m=-2，又mN*,m=1,又f(2-a)f(a-1),解得故函数f(x)经过点时，m=1，满足条件f(2-a)f(a-1)的实数a的取值范围为,【规律方法】幂函数的指数对函数图象的影响当0，1时，幂函数y=x在第一象限的图象特征:,【变式训练】(1)已知05且Z,若幂函数y=x3-是R上的偶函数，则的取值为()(A)1(B)1，3(C)1，3，5(D)0，1，2，3【解析】选A.根据05且Z,得:=0,1,2,3,4,5.使函数y=x3-为R上的偶函数的的值为1,则的取值为1.,(2)若a0得：,所以所以a1或.当a.答案：a,【误区警示】1.处未考虑a的取值，对a进行讨论，而认为a0直接代入求解.2.处未考虑与区间(1，4)的关系，而进行分类讨论，误认为14，而致误.3.处忘记检验所求结果是否符合要求.,【规避策略】1.对于二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论，分类讨论的标准就是二次项系数与0的关系.2.当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论，分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况.3.求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.,【类题试解】(2013合肥模拟)若函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x0,1时有最大值2,则a的值为.【解析】f(x)=-(x-a)2+a2-a+1,当a1时,ymax=a;当0a1时,ymax=a2-a+1;当a0时,ymax=1-a.根据已知条件得解得a=2或a=-1.答案:2或-1,1.(2013金华模拟)幂函数f(x)=xn(n=1,2,3,-1)具有如下性质:f2(1)+f2(-1)=2f(1)+f(-1)-1,则函数f(x)()(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数,又是偶函数(D)既不是奇函数,又不是偶函数,【解析】选B.幂函数f(x)=xn(n=1,2,3,-1)中,若有f2(1)+f2(-1)=2f(1)+f(-1)-1,则常量n=2,所以,函数为f(x)=x2.此函数的图象是开口向上,并以y轴为对称轴的二次函数,即定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以为偶函数,故选B.,2.(2013余姚模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(0,+)上一定存在最小值，则函数在区间(0,+)上一定()(A)有最小值(B)有最大值(C)是减函数(D)是增函数,【解析】选A.f(x)=x2-2ax+a在(0,+)上一定存在最小值，且f(x)的对称轴为x=a,结合f(x)的图象知a0,a0,x(0,+),当且仅当时等号成立，故g(x)在(0,+)上一定存在最小值