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6.2齐次线性方程组解的结构,一.齐次线性方程组解的结构,湘潭大学数学学院岳慧,2,1.解向量,齐次线性方程组,若,为方程的解，则,称为方程组的解向量.,湘潭大学数学学院岳慧,3,（1）若为的解，则,也是的解.,也是的解,（2）若为的解，k为实数，则,推广：,都是方程组的解,齐次线性方程组的解的线性组合,湘潭大学数学学院岳慧,4,2.基础解系,故这无穷个解必存在一个极大线性无关组,定义1.齐次线性方程组解的集合的一个极大线性无关组，称为该方程组的一个基础解系.,即方程组的通解就是,湘潭大学数学学院岳慧,5,定理4.6.2.当r(A)n时，齐次线性方程组的基础解系含有n-r个解向量.,(2)由标准阶梯形得到方程组为,(3)由此得到方程组的解：,(4)写成向量形式为:,故原方程组的通解为,解,故方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量。,由于,得到方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,其中为任意常数。,例1求下面齐次线性方程组的一个基础解系。,故原方程组的通解为,例2求下面齐次线性方程组的一个基础解系。,14,齐次线性方程组求全部解的图示：,系数矩阵,初等行变换,阶梯形矩阵,非零行数=未知量个数？,是,方程组有唯一零解,否,定自由未知量初等行变换,简化阶梯形矩阵,方程组有无穷多解可写出一般解,基础解系,自由
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