1-4 n阶行列式的定义.ppt

第三节n阶行列式的定义,第一章行列式,n阶行列式的定义,小结思考题作业,概念的引入,目录,上页,下页,概念的引入,上页,下页,目录,引例1在布满棋子的33棋盘上，从不同行、不同列取三个棋子(如下图)，问共有几种取法？,3,3,2,1,1,2,用(i,j)表示一个棋子所在的行、列,依次从第1,2,3行取一个棋子,三个棋子处于不同列,解,上页,下页,目录,引例1在布满棋子的33棋盘上，从不同行、不同列取三个棋子(如下图)，问共有几种取法？,3,3,2,1,1,2,用(i,j)表示一个棋子所在的行、列,依次从第1,2,3行取一个棋子,三个棋子处于不同列,解,上页,下页,目录,不同行、不同列的三个棋子：,(1,q1)(2,q2)(3,q3),举一反三：,其中，列标q1,q2,q3取1,2,3的所有可能排列.,上页,下页,目录,引例2,问题(1)：如上形式的乘积，共有几种可能？,(行标排列为231，列标是1,2,3的所有可能排列),从不同行、不同列取三个元素相乘，并表示为：,设有一个33的数表：,上页,下页,目录,问题(2)：令乘积带有符号，即,其中，t1是行标排列231的逆序数；,t2是列标排列q1q2q3的逆序数.,写出全部6个可能的乘积.,上页,下页,目录,问题(3)：将以上6项的代数和与3阶行列式的算式进行比较，有何结论？,上页,下页,目录,问题(4)：在代数和中，,各项的符号一半为“正”，一半为“负”，为什么？,上页,下页,目录,问题(5)：在代数和中，,如果改变任意一项中三个元素的相乘顺序(这不会改变乘积结果)，问：会改变该项的符号吗？,上页,下页,目录,结论,3阶行列式是若干项的代数和：,每项都是不同行、不同的3个数相乘(共3!项)；,每项都带有符号,，t1是行标排列的逆序数；,t2是列标排列的逆序数.,(各项的符号一半是正的，一半是负的：符号取决于是哪3个数相乘，但与相乘的顺序无关；).,上页,下页,n阶行列式的定义,目录,上页,下页,目录,定义,由n2个数aij(i,j=1,2,n)组成的n阶行列式,等于所有取自不同行、不同列的n个数的乘积的代数和，即,上页,下页,目录,上页,下页,目录,说明,(2)根据定义，一阶行列式，注意不要与绝对值记号相混淆.,(1)两种常用的定义表达式：,上页,下页,目录,例1六阶行列式中，含如下乘积的项带什么符号.,解法一,列标排列的逆序数为,行标排列的逆序数为,所以该项应带“+”号.,上页,下页,目录,解法二,此时，列标排列的逆序数为,所以该项应带“+”号.,交换元素位置，使行标排列变成标准排列，即,此时，行标排列的逆序数为,所以该项应带“+”号.,上页,下页,目录,例2试判断是否是六阶行列式中的项.,所以，不是六阶行列式中的项.,交换元素位置，使行标排列变成标准排列,列标排列的逆序数，该项应带“+”号.,下面进一步判断乘积所应带有符号：,解,是6个不同行、不同列元素的乘积；,上页,下页,目录,一些特殊行列式的计算公式,(1),(非主对角线元全为零，即，当ij时，aij=0),对角行列式,上页,下页,目录,证,(1),记，其中,因此，,上页,下页,目录,于是，,记，其中,(2),D的展开式中只有一项可能不等于零，此时,行列式的一般项为,上页,下页,目录,(3)下三角行列式,证,(主对角线以上的元素全为零，即，当ij时，aij=0),行列式的一般项为,其中，否则该项为零.,上页,下页,目录,即，各元素列标可取值：,由于q1q2qn是自然数1,2,n的某一排列，因此,于是，展开式中只有一项可能不等于零，得,(5),上页,下页,目录,(4)上三角行列式,上页,下页,目录,(6),上页,下页,目录,例3计算四阶行列式,解,上页,下页,目录,解,例4计算四阶行列式,上页,下页,目录,证明,例5设,上页,下页,目录,证,设，其中,根据行列式的定义，有,由于,故,上页,下页,目录,小结思考题作业,上页,下页,目录,小结,1.n阶行列式共有n!项，每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积，并且带有符号.,2.n阶行列式是一种特定的算式，它是根据求解含n个方程、n个未知量的线性方程组的需要而定义的.,上页,下页,目录,3.特殊行列式的计算公式：对角行列式、上(下)三角行列式、以及它们的左右(或上下)翻转形式,上页,下页,目录,1.写出六阶行列式中含因子的项,作业,2.根据行列式定义计算以下四阶行列