高斯变换与矩阵三角分解（课堂PPT）

,第五节高斯变换阵与矩阵的三角分解一、Gauss变换阵,定义Gauss变换阵为,数值分析,数值分析,1,数值分析,数值分析,2,Gauss变换阵的性质：,数值分析,数值分析,3,数值分析,数值分析,4,数值分析,数值分析,5,数值分析,数值分析,6,Gauss变换阵的作用：,数值分析,数值分析,7,数值分析,数值分析,8,数值分析,数值分析,9,数值分析,数值分析,10,顺序高斯消元的基本思想：将矩阵A的下三角部分消为零，即,二、矩阵的三角分解1.顺序高斯消元与LU分解的等价性,数值分析,数值分析,11,数值分析,数值分析,12,数值分析,数值分析,13,数值分析,数值分析,14,数值分析,数值分析,15,数值分析,数值分析,16,数值分析,数值分析,17,进行到第k步消元时,数值分析,数值分析,18,数值分析,数值分析,19,数值分析,数值分析,20,其中,数值分析,数值分析,21,数值分析,数值分析,22,消元过程全部完成后，原来的二维数组中存放的元素实际上是一个新的矩阵，记为,数值分析,数值分析,23,functionA=lud(A)%功能：对方阵A作三角分解A=LU,其中，%L为单位下三角阵，U为上三角阵，%输入：方阵A。%输出：紧凑存储A=LU.%注意：当A的主元=0时退出Matlab.,LU分解的MATLAB程序,n,n=size(A);%确定A的维数,fork=1:n-1fori=k+1:nifA(k,k)=0quit;endA(i,k)=A(i,k)/A(k,k);A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-A(i,k)*A(k,k+1:n);endend,数值分析,数值分析,24,2.矩阵三角分解的基本定理,数值分析,数值分析,25,数值分析,数值分析,26,数值分析,数值分析,27,2.矩阵三角分解的基本定理,数值分析,数值分析,28,主要结论,数值分析,数值分析,29,数值分析,数值分析,30,数值分析,数值分析,31,数值分析,数值分析,32,数值分析,数值分析,33,3.Cholesky分解(平方根分解),(1),（用直接三角分解法）,数值分析,数值分析,34,(k),若已求出了L的前k-1列元素，则为求第k列元素，先用L的第k行乘LT的第k列,数值分析,数值分析,35,再用L的第k行乘LT的第j列(j=k+1,k+2,n)有,数值分析,数值分析,36,Cholesky分解公式,数值分析,数值分析,37,数值分析,数值分析,38,4.列主元LU分解,数值分析,数值分析,39,数值分析,数值分析,40,数值分析,数值分析,41,数值分析,数值分析,42,数值分析,数值分析,43,数值分析,数值分析,44,数值分析,数值分析,45,MATLAB实现l,u,p=lu(A),数值分析,数值分析,46,Lupd.m%功能：对方阵A作列主元三角分解PA=LU,其中，%L为单位下三角阵，U为上三角阵，排列阵P%用向量p表示。%输入：方阵A。%输出：紧凑存储LU=LU，以及p。%注意：当A奇异时退出Matlab.functionLU,p=lupd(A)%初始化n=length(A);p=1:n;LU=A;,%分解过程fork=1:n%搜索列主元iks,i=max(abs(LU(k:n,k);ik=i+k-1;,数值分析,数值分析,47,%判断矩阵的奇异性ifs=0quit;end%行交换ifik=km=p(k);p(k)=p(ik);p(ik)=m;lk=LU(k,:);LU(k,:)=LU(ik,:);LU(ik,:)=lk;end,%用消元法计算LU=LUifk=nbreak;endLU(k+1:n,k)=LU(k+1:n,k)/LU(k,k);LU(k+1:n,k+1:n)=LU(k+1:n,k+1:n)-LU(k+1:n,k)*LU(k,k+1:n);end,数值分析,数值分析,48,5.全主元LU分解,数值分析,数值分析,49,Lupqd.m%功能：对方阵A作全主元三角分解PAQT=LU,其中，%L为单位下三角阵，U为上三角阵，排列阵P%和Q分别用向量p,q表示。%输入：方阵A。%输出：紧凑存储LU=LU，以及p和q。%注意：当A奇异时退出Matlab.functionLU,p,q=lupqd(A)%初始化n=length(A);p=1:n;q=p;LU=A;,数值分析,数值分析,50,%分解过程fork=1:n%搜索全主元(ik,jk)xk,I=max(abs(LU(k:n,k:n);%列最大值及所在行s,j=max(xk);ik=I(j)+k-1;jk=j+k-1;%判断矩阵的奇异性ifs=0quit;end%行交换和列交换ifik=km=p(k);p(k)=p(ik);p(ik)=m;lk=LU(k,:);LU(k,:)=LU(ik,:);LU(ik,:)=lk;end,数值分析,数值分析,51,ifjk=km=q(k);q(k)=q(jk);q(jk)=m;ck=LU(:,k);LU(:,k)=LU(:,jk);LU(:,jk)=ck;end%用消元法计算LU=LUifk=nbreak;endLU(k+1:n,k)=LU(k+1:n,k)/LU(k,k);LU(k+1:n,k+1:n)=LU(k+1:n,k+1:n)-LU(k+1:n,k)*LU(