《数据结构第七章》PPT课件

1,图的基本概念图的存储结构图的遍历图的连通性问题最小生成树最短路径活动网络,第七章图,2,图的基本概念,图定义图是由顶点集合(vertex)及顶点间的关系集合组成的一种数据结构：Graph(V,E)其中V=x|x某个数据对象是顶点的有穷非空集合；E1=(x,y)|x,yV或E2=|x,yV顶点v的出度是以v为始点的有向边的条数,记作OD(v)。路径在图G(V,E)中,若从顶点vi出发,沿一些边经过一些顶点vp1,vp2,vpm，到达顶点vj。则称顶点序列(vivp1vp2.vpmvj)为从顶点vi到顶点vj的路径。它经过的边(vi,vp1)、(vp1,vp2)、.、(vpm,vj)应是属于E的边。,6,顶点的出度:以顶点v为弧尾的弧的数目;顶点的入度:以顶点v为弧头的弧的数目。,有向图,顶点的度(TD)=出度(OD)+入度(ID)TD(B)=OD(B)+ID(B)=3,例如:,7,路径长度非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。带权图的路径长度是指路径上各边的权之和。简单路径若路径上各顶点v1,v2,.,vm均不互相重复,则称这样的路径为简单路径。简单回路若路径上第一个顶点v1与最后一个顶点vm重合,则称这样的路径为回路或环。,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,8,如:从A到F长度为3的路径A,B,C,F,9,连通图与连通分量在无向图中,若从顶点v1到顶点v2有路径,则称顶点v1与v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图是连通图。非连通图的极大连通子图叫做连通分量。强连通图与强连通分量在有向图中,若对于每一对顶点vi和vj,都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路径,则称此图是强连通图。非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。,10,无向图,若图中任意两个顶点之间都有路径相通，则称此图为连通图;,若无向图为非连通图，则图中各个极大连通子图称作此图的连通分量。,11,有向图,若任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则称此有向图为强连通图。否则，其各个强连通子图称作它的强连通分量。,A,B,E,C,F,12,生成树:假设一个连通图有n个顶点和e条边，其中n-1条边和n个顶点构成一个极小连通子图，称该极小连通子图为此连通图的生成树。在极小连通子图中增加一条边，则一定有环。在极小连通子图中去掉一条边，则成为非连通图。,B,A,C,D,F,E,13,有n个顶点，n-1条边的图必定是生成树吗？,对非连通图，则称由各个连通分量的生成树的集合为此非连通图的生成森林。,14,图的存储结构,在图的邻接矩阵表示中，有一个记录各个顶点信息的顶点表，还有一个表示各个顶点之间关系的邻接矩阵。设图A=(V,E)是一个有n个顶点的图,图的邻接矩阵是一个二维数组A.edgenn，定义：,邻接矩阵(AdjacencyMatrix),15,无向图的邻接矩阵是对称的;有向图的邻接矩阵可能是不对称的。,0,1,2,3,0,1,2,16,在有向图中,统计第i行1的个数可得顶点i的出度，统计第j列1的个数可得顶点j的入度。在无向图中,统计第i行(列)1的个数可得顶点i的度。,17,网络的邻接矩阵,18,#defineMaxValueInt_MaxconstintNumEdges=50;/边条数constintNumVertices=10;/顶点个数typedefcharVertexData;/顶点数据类型typedefintEdgeData;/边上权值类型typedefstructVertexDatavexListNumVertices;/顶点表EdgeDataEdgeNumVerticesNumVertices;/邻接矩阵,可视为边之间的关系intn,e;/图中当前的顶点个数与边数MTGraph;,用邻接矩阵表示的结构定义,19,邻接表(AdjacencyList),邻接表:是图的一种链式存储结构。弧的结点结构adjvex;/该弧所指向的顶点的位置nextarc;/指向下一条弧指针info;/该弧相关信息的指针,顶点的结点结构,data;/顶点信息firstarc;/指向第一条依附该顶点的弧,20,无向图的邻接表,同一个顶点发出的边链接在同一个边链表中，每一个链结点代表一条边(边结点),结点中有另一顶点的下标dest和指针link。,21,有向图的邻接表和逆邻接表,A,B,C,dataadj,ABC,012,destlink,destlink,邻接表(出边表),dataadj,ABC,012,destlink,逆邻接表(入边表),1,0,2,0,1,1,22,网络(带权图)的邻接表,B,A,C,D,6,9,5,2,8,dataadj,ABCD,0123,destcostlink,15,36,28,32,19,(出边表),(顶点表),23,带权图的边结点中保存该边上的权值cost。顶点i的边链表的表头指针adj在顶点表的下标为i的顶点记录中，该记录还保存了该顶点的其它信息。在邻接表的边链表中，各个边结点的链入顺序任意，视边结点输入次序而定。设图中有n个顶点，e条边，则用邻接表表示无向图时，需要n个顶点结点，2e个边结点；用邻接表表示有向图时，若不考虑逆邻接表，只需n个顶点结点，e个边结点。,24,图的邻接表存储表示#defineMAX_VERTEX_NUM20typedefstructArcNodeintadjvex;/该弧所指向的顶点的位置structArcNode*nextarc;/指向下一条弧指针InfoType*info;/该弧相关信息的指针ArcNode;typedefstructVNodeVertexTypedata;/顶点信息ArcNode*firstarc;/指向第一条依附该顶点的弧VNode,AdjListMAX_VERTEX_NUM;,25,typedefstructAdjListvertices;Intvexnum,arcnum;/图的当前顶点数和弧数Intkind;/图的种类标志ALGraph;,26,typedefcharVertexData;/顶点数据类型typedefintEdgeData;/边上权值类型typedefstructnode/边结点intdest;/目标顶点下标EdgeDatacost;/边上的权值Structnode*link;/下一边链接指针EdgeNode;,邻接表表示的图的定义（为算法）,27,typedefstruct/顶点结点VertexDatadata;/顶点数据域EdgeNode*firstAdj;/边链表头指针VertexNode;typedefstruct/图的邻接表VertexNodeVexListNumVertices;/邻接表intn,e;/图中当前的顶点个数与边数AdjGraph;,28,邻接表的构造算法(无向图)voidCreateGraph(AdjGraphG)cinG.nG.e;/输入顶点个数和边数for(inti=0;iG.VexListi.data;/输入顶点信息G.VexListi.firstAdj=NULL;for(i=0;itailheadweight;EdgeNode*p=newEdgeNode;p-dest=head;p-cost=weight;,29,/链入第tail号链表的前端p-link=G.VexListtail.firstAdj;G.VexListtail.firstAdj=p;p=newEdgeNode;p-dest=tail;p-cost=weight;/链入第head号链表的前端p-link=G.VexListhead.firstAdj;G.VexListhead.firstAdj=p;,30,图的遍历,从图中某一顶点出发访遍图中所有的顶点，且使每个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历(TraversingGraph)。图中可能存在回路，且图的任一顶点都可能与其它顶点相通，在访问完某个顶点之后可能会沿着某些边又回到了曾经访问过的顶点。为了避免重复访问，可设置一个标志顶点是否被访问过的辅助数组visited。,31,辅助数组visited的初始状态为0,在图的遍历过程中,一旦某一个顶点i被访问,就立即让visitedi为1,防止它被多次访问。两种图的遍历方法:深度优先搜索DFS(DepthFirstSearch)广度优先搜索BFS(BreadthFirstSearch),32,深度优先搜索DFS(DepthFirstSearch),深度优先搜索过程,6,7,前进回退,深度优先生成树,33,DFS在访问图中某一起始顶点v后,由v出发,访问它的任一邻接顶点w1;再从w1出发,访问与w1邻接但还没有访问过的顶点w2;然后再从w2出发,进行类似的访问,如此进行下去,直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点u为止。接着,退回一步,退到前一次刚访问过的顶点,看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。如果有,则访问此顶点,之后再从此顶点出发,进行与前述类似的访问;如果没有,就再退回一步进行搜索。重复上述过程,直到连通图中所有顶点都被访问过为止。,34,图的深度优先搜索算法voidGraph_Traverse(AdjGraphG)int*visited=newintNumVertices;for(inti=0;iG.n;i+)visitedi=0;/访问数组visited初始化for(inti=0;iG.n;i+)if(!visitedi)DFS(G,i,visited);/从顶点i出发开始搜索deletevisited;/释放visited,35,voidDFS(AdjGraphG,intv,intvisited)coutGetValue(G,v);/访问顶点vvisitedv=1;/顶点v作访问标记intw=GetFirstNeighbor(G,v);/取v的第一个邻接顶点wwhile(w!=-1)/若邻接顶点w存在if(!visitedw)DFS(G,w,visited);/若顶点w未访问过,递归访问顶点ww=GetNextNeighbor(G,v,w);/取顶点v排在w后的下一个邻接顶点,36,广度优先搜索BFS(BreadthFirstSearch),广度优先搜索过程,A,C,D,E,G,B,F,I,H,A,C,D,E,G,B,F,H,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,广度优先生成树,I,37,BFS在访问了起始顶点v之后,由v出发,依次访问v的各个未被访问过的邻接顶点w1,w2,wt,然后再顺序访问w1,w2,wt的所有还未被访问过的邻接顶点。再从这些访问过的顶点出发，再访问它们的所有还未被访问过的邻接顶点，如此做下去，直到图中所有顶点都被访问到为止。广度优先搜索是一种分层的搜索过程,每向前走一步可能访问一批顶点,不像深度优先搜索那样有往回退的情况。因此,广度优先搜索不是一个递归的过程。,38,为了实现逐层访问,算法中使用了一个队列,以记忆正在访问的这一层和下一层的顶点,以便于向下一层访问。为避免重复访问,需要一个辅助数组visited，给被访问过的顶点加标记。,图的广度优先搜索算法voidGraph_Traverse(AdjGraphG)for(inti=0;iG.n;i+)if(!visitedi)BFS(G,i,visited);,39,voidBFS(AdjGraphG,intv,intvisited)coutq;InitQueue(,40,visitedw=1;EnQueue(,41,连通分量(Connectedcomponent)当无向图为非连通图时,从图中某一顶点出发,利用深度优先搜索算法或广度优先搜索算法不可能遍历到图中的所有顶点,只能访问到该顶点所在的最大连通子图(连通分量)的所有顶点。若从无向图的每一个连通分量中的一个顶点出发进行遍历,可求得无向图的所有连通分量。,图的连通性问题,42,求连通分量的算法需要对图的每一个顶点进行检测：若已被访问过，则该顶点一定是落在图中已求得的连通分量上；若还未被访问，则从该顶点出发遍历图，可求得图的另一个连通分量。对于非连通的无向图，所有连通分量的生成树组成了非连通图的生成森林。,43,A,C,D,E,I,B,F,O,G,H,J,N,M,L,K,非连通无向图的三个连通分量,A,H,K,C,D,E,I,B,F,O,G,J,N,M,L,非连通图的连通分量的极小连通子图,44,重连通分量(BiconnectedComponent),在无向连通图G中,当且仅当删去G中的顶点v及所有依附于v的所有边后,可将图分割成两个或两个以上的连通分量，则称顶点v为关节点。没有关节点的连通图叫做重连通图。在重连通图上,任何一对顶点之间至少存在有两条路径,在删去某个顶点及与该顶点相关联的边时,也不破坏图的连通性。一个连通图G如果不是重连通图，那么它可以包括几个重连通分量。,45,在一个无向连通图G中,重连通分量可以利用深度优先生成树找到。在图中各顶点旁标明的深度优先数,给出进行深度优先搜索时各顶点访问的次序。深度优先生成树的根是关节点的充要条件是它至少有两个子女。其它顶点u是关节点的充要条件是它至少有一个子女w,从w出发,不能通过w、w的子孙及一条回边所组成的路径到达u的祖先。,46,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,A,B,C,D,E,F,G,H,J,A,B,C,D,E,F,G,H,J,I,I,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,根有两个子女,关节点,关节点,关节点,47,连通图和它的连通分量,48,最小生成树(minimumcostspanningtree),使用不同的遍历图的方法，可以得到不同的生成树；从不同的顶点出发，也可能得到不同的生成树。按照生成树的定义，n个顶点的连通网络的生成树有n个顶点、n-1条边。构造最小生成树的准则必须使用且仅使用该网络中的n-1条边来联结网络中的n个顶点；不能使用产生回路的边；各边上的权值的总和达到最小。,49,普里姆(Prim)算法,普里姆算法的基本思想：从连通网络N=V,E中的某一顶点u0出发,选择与它关联的具有最小权值的边(u0,v),将其顶点加入到生成树顶点集合U中。以后每一步从一个顶点在U中,而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u,v),把它的顶点加入到集合U中。如此继续下去,直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。采用邻接矩阵作为图的存储表示。,50,25,25,10,5,0,4,6,1,3,2,28,10,25,14,24,22,16,18,5,0,4,6,1,3,2,5,0,4,6,1,3,2,10,原图(a)(b),5,0,4,6,1,3,2,10,(c)(d)(e)(f),5,0,4,6,1,3,2,10,22,12,5,0,4,6,1,2,10,25,14,22,16,12,3,25,22,12,51,在构造过程中，还设置了两个辅助数组：lowcost存放生成树顶点集合内顶点到生成树外各顶点的各边上的当前最小权值；nearvex记录生成树顶点集合外各顶点距离集合内哪个顶点最近(即权值最小)。例子,5,0,4,6,1,3,2,28,10,25,14,24,22,16,18,12,52,若选择从顶点0出发，即u0=0，则两个辅助数组的初始状态为：然后反复做以下工作：在lowcost中选择nearvexi-1/加到生成树顶点集合intk=0;/存放最小生成树结点的变量for(i=0;iG.n;i+)if(i!=u)/循环n-1次,加入n-1条边EdgeDatamin=MaxValue;intv=0;for(intj=0;jlink=G.VexListj.firstAdj;VexListj.firstAdj=p;/链入顶点j的边链表的前端countk+;/顶点k入度加一,76,在算法中,使用一个存放入度为零的顶点的链式栈,供选择和输出无前驱的顶点。拓扑排序算法可描述如下：建立入度为零的顶点栈;当入度为零的顶点栈不空时,重复执行从顶点栈中退出一个顶点,并输出之;从AOV网络中删去这个顶点和它发出的边,边的终顶点入度减一;如果边的终顶点入度减至0,则该顶点进入度为零的顶点栈;如果输出顶点个数少于AOV网络的顶点个数,则报告网络中存在有向环。,77,拓扑排序的算法voidTopologicalSort(AdjGraphG)StackS;StackEmpty(S);intj;/入度为零的顶点栈初始化for(inti=0;in;i+)/入度为零顶点if(counti=0)Push(S,i);/进栈for(i=0;in;i+)/期望输出n个顶点if(StackEmpty(S)/中途栈空,转出cout“网络中有回路！Vek)Vek=Vei+pcost;p=plink;/找下一个后继,89,for(i=0;in;i+)Vli=Ven-1;/逆向计算事件的最迟开始时间for(i=n-2;i;i-)/按逆拓扑有序顺序处理p=NodeTablei.adj;/该顶点边链表链头指针pwhile(p!=NULL)k=pdest;/i的后继邻接顶点kif(Vlk-pcostVli)Vli=Vlk-pcost;p=plink;/找下一个后继,90,for(i=0;i”“是关键活动”endl;p=plink;/找下一个后继,91,注意,在拓扑排序求Vei和逆拓扑有序求Vli时,所需为O(n+e),求各个活动的ek和lk时所需时间为O(e),总共花费时间仍然是O(n+e)。所有顶点按拓扑有序的次序编号仅计算Vei和Vli是不够的，还须计算ek和lk。不是任一关键活动加速一定能使整个工程提前。想使整个工程提前，要考虑各个关键路径上所有关键活动。,92,最短路径(ShortestPath),最短路径问题：如果从图中某一顶点(称为源点)到达另一顶点(称为终点)的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。问题解法边上权值非负情形的单源最短路径问题Dijkstra算法边上权值为任意值的单源最短路径问题Bellman和Ford算法所有顶点之间的最短路径Floyd算法,93,边上权值非负情形的单源最短路径问题,问题的提法：给定一个带权有向图D与源点v，求从v到D中其它顶点的最短路径。限定各边上的权值大于或等于0。为求得这些最短路径,Dijkstra提出按路径长度的递增次序,逐步产生最短路径的算法。首先求出长度最短的一条最短路径，再参照它求出长度次短的一条最短路径，依次类推，直到从顶点v到其它各顶点的最短路径全部求出为止。举例说明,94,Dijkstra逐步求解的过程,1,0,4,3,2,10,100,30,50,20,60,10,源点终点最短路径路径长度,v0v1(v0,v1)10v2(v0,v1,v2)(v0,v3,v2),60,50v3(v0,v3)30v4(v0,v4)(v0,v3,v4)(v0,v3,v2,v4)100,90,6