《数学建模概述》PPT课件

第一章数学建模概述,1.1数学的应用与数学建模1.2数学建模的基本问题1.3数学建模示例1.4插值法与拟合法简介,1.1数学的应用与数学建模,数学广泛地应用于各个领域，如:传统的物理学、天文学、力学，及现代的工程技术、社会生活、信息技术等。计算机技术的发展为数学的广泛应用创造了条件，尤其是一些数学软件的开发使用，使得很多数学思想、方法得以实现。,数学模型(MathematicalModel)数学建模（MathematicalModeling),1.1数学的应用与数学建模,对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具,得到的一个数学结构,数学模型(MathematicalModel),数学模型是实际对象的一种抽象模拟，它用数学符号、数学公式、图表、算法或程序描述现实对象中的数量关系。,数学建模（MathematicalModeling),建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、验证等）,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,1.2数学建模的基本问题,数学建模的方法,数学建模的基本过程,数学模型的分类,怎样学好数学建模,数学建模竞赛,测试分析的方法：对客观事物的特性不能准确认识，只能通过对问题的观测数据的测量和分析，找到与数据吻合最好的模型。如：回归分析方法，方差分析方法等。,数学建模的方法,机理分析的方法：根据对客观事物特性的认识，分析其因果关系，通过推理分析得到的数学模型。如：微分方程方法，最优化方法等。,数学建模的基本过程,1.模型准备了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.模型假设在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素,经必要的精炼、简化,提出若干符合客观实际的假设。3.模型建立在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学构即建立数学模型。4.模型求解选择适当的方法（解析法、数值法、画图法等）求解数学模型。5.模型的分析与检验对模型进行理论或计算分析，并用实际数据检验是否符合实际。,数学模型的分类,怎样学好数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人做过的模型,亲自动手，认真做几个实际题目,数学建模竞赛,美国大学生数学建模竞赛：1985年至今，每年一次，时间在2月初的第一个周五至下周二，共96小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数学建模全过程为素材撰写的论文（英文）。,全国大学生数学建模竞赛：1992年至今，每年一次，时间在9月下旬第一个周五至下周一，共72小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数学建模全过程为素材撰写的论文。,1.3数学建模示例,1.3.1稳定的椅子,1.3.2商人安全过河,1.3.4人口增长预测,1.3.1稳定的椅子,问题分析,模型假设,通常三只脚着地,放稳四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C两脚与地面距离之和f(),B,D两脚与地面距离之和g(),椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,两个距离,f(),g()是连续函数,对任意,f(),g()至少一个为0,数学问题,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,模型构成,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()g(),则h(0)0和h(/2)0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()g()=0,所以f(0)=g(0)=0.,建模的关键:,假设条件的本质与非本质,考察四脚连线呈长方形的椅子,和f(),g()的确定,问题(智力游戏),3名商人3名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,1.3.2商人安全过河,模型构成,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk,vk)决策,D=(u,v)u+v=1,2允许决策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=skdk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2,n),使skS,并按状态转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,允许决策移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s1,sn+1,d1,，d11给出安全渡河方案,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一名随从的情况,允许状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,1.3.4人口增长预测,目的,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,N(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率r是常数,今年人口N0,年增长率r=b-d，,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,1.资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,2.阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(N很小时),Nm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,N(t)S形曲线,N增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),阻滞增长模型有一个稳定的平衡值Nm,这比指数增长模型更符合实际。,利用美国人口统计数据，检验上述两个模型,取r=0.03134,Nm=197273000,得到的计算结果显示逻辑增长模型与实际误差更小。,这里的参数r和Nm是专家估计给出的，实际上，它们包括N0都可以通过参数估计得到。,阻滞增长模型(Logistic模型),对模型取对数，得,用线性最小二乘法（利用计算