基于贝叶斯决策理论的分类器(1).ppt

第二章基于贝叶斯决策理论的分类器ClassifiersBasedonBayesDecisionTheory,1引言2Bayes决策理论最小错误率的贝叶斯决策最小风险的贝叶斯决策3Bayes分类器和判别函数4正态分布的Bayes决策,1引言,模式识别是根据对象特征值将其分类。d个特征组成特征向量x=x1,xdT，生成d维特征空间，在特征空间一个x称为一个模式样本。Bayes决策理论是用概率统计方法研究决策问题。为什么可用Bayes决策理论分类？样本的不确定性：样本从总体中抽取，特征值都是随机变量，在相同条件下重复观测取值不同，故x为随机向量。特征选择的不完善引起的不确定性；测量中有随机噪声存在。,另一方面从样本的可分性来看：当各类模式特征之间有明显的可分性时，可用直线或曲线(面)设计分类器，有较好的效果。当各类别之间出现混淆现象时，则分类困难。这时需要采用统计方法，对模式样本的统计特性进行观测，分析属于哪一类的概率最大。此时要按照某种判据分类，如，分类错误发生的概率最小，或在最小风险下进行分类决策等。,三个重要的概率和概率密度先验概率、类条件概率密度函数、后验概率。先验概率P(wi)由样本的先验知识得到先验概率，可从训练集样本中估算出来。例如，两类10个训练样本，属于w1为2个，属于w2为8个，则先验概率P(w1)=0.2，P(w2)=0.8。类条件概率密度函数p(x|wi)模式样本x在wi类条件下，出现的概率密度分布函数。也称p(x|wi)为wi关于x的似然函数。在本章中均假设已知上述概率和概率密度函数。,后验概率P(wi|x)定义为某个样本x,属于wi类的概率,i=1,c。如果用先验概率P(wi)来确定待分样本x的类别,依据显然是非常不充分的，须用类条件概率密度p(x|wi)来修正。根据样本x的先验概率和类条件概率密度函数p(x|wi)用Bayes公式重新修正模式样本所属类的概率，称后验概率P(wi|x)。3.用Bayes决策理论分类时要求：各类总体的概率分布是已知的。要决策的类别数c是一定的。,2Bayes决策理论,1.Bayes公式，也称Bayes法则2.Bayes分类规则：用后验概率分类,类条件概率密度,后验概率,上图,3.最小错误率的Bayes决策,为什么这样分类的结果平均错误率最小？在一维特征空间中，t为两类的分界面分成两个区域R1和R2，R1为(,t)；R2为(t,)。R1区域所有x值：分类器判定属于w1类；R2区域所有x值：分类器判定属于w2类。判断错误的区域为阴影包围的面积。,x0,判定错误区域及错误率真实状态w2，而把模式x判定属于w1类真实状态w1，而把模式x判定属于w2类平均错误率P(e)决策规则实际上对每个x都使p(e|x)取小者，移动决策面t都会使错误区域增大，因此平均错误率最小。,错误率计算：多类时，特征空间分割成R1,Rc，P(e)由c(c-1)项组成，计算量大。用平均正确分类率P(c)计算只有c项：,例1：细胞识别已知：正常类P(w1)0.9;异常类P(w2)0.1待识别细胞x,从类条件概率密度曲线上查得p(x|w1)0.2;p(x|w2)0.4这种规则先验概率起决定作用。这里没有考虑错误分类带来的损失。,4.最小风险的Bayes决策,把分类错误引起的“损失”加入到决策中去。决策论中：采取的决策称为动作，用ai表示；每个动作带来的损失，用l表示。归纳数学符号：,一般用决策表或损失矩阵表示上述三者关系。决策表表示各种状态下的决策损失，如下表：,由于引入了“损失”的概念(即在错判时造成的损失)，不能只根据后验概率来决策，必须考虑所采取的决策是否使损失最小。对于给定的x，决策ai，l可在c个l(ai,wj)中选一个，其相应的后验概率为P(wj|x)。此时的条件期望损失，即后验概率加权和在决策论中条件期望损失称为条件风险，即x被判为i类时损失的均值。由于x是随机向量的观察值，不同的x采取不同决策ai，其条件风险的大小是不同的。,决策a可看成随机向量x的函数，记为a(x)，它本身也是一个随机变量。定义期望风险Rdx是d维特征空间的体积元，积分在整个特征空间。期望风险R反映对整个特征空间上所有x的取值都采取相应的决策a(x)所带来的平均风险；而条件风险R(ai|x)只反映观察到某一x的条件下采取决策ai所带来的风险。如果采取每个决策行动ai使条件风险R(ai|x)最小，则对所有的x作出决策时，其期望风险R也必然最小。这就是最小风险Bayes决策。,最小风险的Bayes决策规则：,如果只有两类的情况下这时最小风险的Bayes决策法则为：如果R(a1|x)R(a2|x),则x的真实状态w1,否则w2。两类时最小风险Bayes决策规则的另两种形式：,例2：条件同例1，利用决策表，按最小风险Bayes决策分类。这里决策与例1结论相反为异常细胞。因损失起了主导作用。l不易确定，要与有关专家商定。,例3：现有两类问题，比较两种Bayes决策。已知：单个特征变量x为正态分布两类方差都为s2=1/2,均值分别为m=0,1即求：若先验概率P(w1)=P(w2)=1/2，计算最小错误率情况下的阈值x0。如果损失矩阵为,计算最小风险情况下的阈值x0。,最小错误概率情况下阈值x0(取对数运算)最小风险情况下阈值x0如果这两类不是等概率，P(w1)P(w2),阈值左移也就是说扩大最大可能类的区域。可能性大的类可产生更小的误差。,阈值左移,拒绝决策在某些情况下拒绝决策比错误判别风险要小。样本x在各种判别条件下的平均风险当i=c+1时，如果R(ac+1|x)R(ai|x),i=1,2,c则对x作出拒绝判别。若此时各类拒绝判别风险相同，即都为lz，则则拒绝判别的条件为lzgj(x)所有ij则xwi,两类情况下，设最小错误率的Bayes决策规则的四种等价形式,后验概率,类条件概率密度函数与先验概率,似然比,似然比取对数,多类情况下，设最小错误率的Bayes决策规则的四种等价形式,2.决策面方程,各决策域R被决策面所分割，这些决策面是特征空间中的点、直线、超曲面，相邻的两个决策域在决策面上其判别函数相等。决策面方程应满足gi(x)=gj(x)gij(x)=gi(x)gj(x)=0ij且i与j为相邻的两类。,一维、三类,二维、二类,只有两类的分界面：x为一维，决策面为一分界点；如图(a)x为二维，决策面为一曲线；如图(b)x为三维，决策面为一曲面；x为d维，决策面为一超曲面,(b),3.分类器设计在d维特征空间内，划分为c个决策区域。多类：根据各类训练集样本x计算得到c个判别函数gi，将待分样本计算gi，从中选择最大值作为类决策。分类器可看成由硬件或软件组成的一个“机器”。,两类：两类分类器可看作只是对x计算判别函数的一个“机器”，根据计算结果的符号将x分类。,例4对例1和例2分别列出判别函数和决策面方程例1.判别函数决策面方程例2.判别函数决策面方程：,4正态分布的Bayes决策,大量随机变量服从正态分布,而且数学上容易处理,因此以正态分布为例来说明。1.正态分布函数和性质单变量的正态分布概率密度函数性质：p(x)由m,s2确定。随机变量x集中在均值m附近,其分散度正比于标准差s,95%样本落入|x-m|2s范围内。,多元(维)正态分布的概率密度函数,多元正态分布的性质：,参数m和S决定分布形状概率密度函数由d+d(d+1)/2个数目的参数唯一确定，其中d为均值数，d(d+1)/2为协方差数。通常记为。等概率密度点的轨迹为一超椭球面x大部分落在以均值向量m为中心，大小由协方差矩阵S确定的区域。指数项为常数的x点即为等概率密度。因此超椭球的方程应是,超椭球主轴方向由S的本征向量确定，其长度与协方差矩阵的本征值l平方根成正比。证明：中心移到坐标原点m=0，可用这约束条件构造Lagrange函数，求极值得到。,在数理统计中，定义称x到m的Mahalanobis(马氏)距离平方。所以等概率密度点的轨迹是x到的马氏距离为常数的超椭球面。在正态分布中不相关性等价于独立性。若两个随机变量xi和xj间对多元正态的任意两个分量xi和xj来说两者等价。如果xi和xj是统计独立，中xi的方差sii2,xi和xj的协方差sij2,则sij20,为对角矩阵。则x=(x1,xd)T各分量是相互独立的正态分布随机变量。,多元正态分布的边缘分布和条件分布具有正态性线性变换的正态性：x为多元正态分布的随机向量，其均值向量为m，协方差矩阵为S。对x作线性变换，即y=AxA为线性变换矩阵，且非奇异，变换后服从均值向量为Am，协方差矩阵为AAT的多元正态分布。p(y)N(Am,AAT)线性组合的正态性x为多元分布的正态随机向量，则线性组合y=aTx是一维的正态随机变量,a是与x同维向量p(y)N(aTm,aTA),2.正态分布的最小错误率的Bayes分类条件概密函数判别函数,决策面方程根据相邻的决策域在决策面上的判别函数相等，下面讨论几种不同的情况：Si=s2I,i=1,2,cSiSSiSj,i,j=1,2,c,Si=s2I各类模式分布的协方差矩阵相等，各xi统计独立且方差相同，协方差均为0。几何上相当于各类样本落在以mi为中心同样大小的一些超球体中。判别函数中第二和第三项与类别i无关若c类先验概率相等，则gi(x)可忽略最后一项。,欧氏距离平方：,Bayes决策：P(wi)=P(wj)先验概率相等测量从待分类向量x到每一类均值向量的欧氏距离，把x分到距离最近的类，mi是从训练样本集中得到的。也称最小距离分类器。若把每个均值向量mi看作一个典型的样本(模板)，则这种分类方法也称为模板匹配技术。P(wi)P(wj)欧氏距离的平方必须用方差s2规范化后减去lnP(wi)再用于分类。因此，如果待分类的向量x同两类均值向量的欧氏距离相等，则最小错误概率Bayes决策把这模式归入先验概率大的那类。,实际使用中不必计算欧氏距离，把gi(x)展开可得这是x的二次函数，其中xTx与分类无关这是与均值有关的线性判别函数，组成线性分类器。对待分类的样本x,分别计算gi(x),i=1,2,cgk(x)maxgi(x)则决策xwk,i,决策面方程相邻决策面方程是由上述线性方程所确定的一个超平面，且讨论的是方差相等，协方差为0这样一种特殊情况，即。这个方程确定了决策面是通过x0并正交于向量W的一个超平面。由于W=mimj所以超平面正交于均值向量mi与mj之间的联线。,若先验概率相等超平面通过mi与mj联线的中点，且与联线正交。若先验概率不相等，则x0不在中点，超平面向先验概率小的方向移动。若s2|mi-mj|2,则先验概率对决策面的影响就比较小。d维特征空间，交界面呈球状分布，其判别边界为d-1维的平面，垂直于中心线。,一维二维三维,SiSS与i无关。各类的协方差矩阵相等S1S2Sc=S。几何上相当于各类样本集中于以该类均值mi点为中心的同样大小和形状的超椭球体中。判别函数：若c类先验概率相等，则Bayes决策：计算x到每类均值点mi的马氏距离平方r2,将x分到距离最近的类中去，或归于r2最小的类。,展开后,忽略与i无关项xTS-1x，则判别函数线性判别函数，因此决策面仍是一个超平面。相邻决策面方程W不在(mi-mj)方向上，超平面通过x0点但不与均值向量连线正交。,若先验概率相等，则交点在均值向量联线的中点；若先验概率不相等则向小先验概率方向移动(左图)。若先验概率相差较大，判别边界不会落入球状高斯分布的中心点之间(右图)。,P(1)0.7P(2)0.3,P(1)0.9P(2)0.1,例5两类二维正态分布的分类问题已知：协方差相同，均值向量不同。要求：根据Bayes决策，对样