矩阵线性方程组

,第二章线性方程组的解,高斯消元法,通知：11月15日的课换到11月5日上午上课时间不变，地址：东2-201教室；下午上课时间不变，地址：东2-103教室,我们以往求解方程组，方程个数与未知量的个数总相等，但实际问题中，两者不一定相等。求解方程组的方法通常是消元法，即高斯消元法。求解过程中，实际上利用了三种行初等变换，并且总是详细地写出方程组。行初等变换保证了方程组总是同解的，但每一步都详细地写出方程组则是不必要的。早在汉朝的九章算术实际上就用了增广矩阵初等变换法，这正是本章要论述的。下面我们讨论一般线性方程组.,n个未知量的线性方程组的一般形式为：,其中,未知量,第i个方程第j个未知量xj的系数,常数项,全为0,齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组,上述线性方程组表示成矩阵形式为,系数矩阵,未知量列向量,常数项列向量,问题：,(1)方程组是否有解?,(2)如果有解,它有多少解?如何求出它的所有解?,为增广矩阵,高斯消元法就是对方程组作初等行变换,等价于上述矩阵方程左乘初等矩阵，由于初等矩阵的可逆性，这是一个同解过程。实际上是对增广矩阵作初等行变换的过程。,例1,解线性方程组,解,初等行变换,因此,例2,解线性方程组,解,初等行变换,可以看出,每给定x2一个值,唯一的求出x1,x3的一组值,而x2可取任意实数,所以方程组有无数解.,那么这个解的几何意义是什么呢？,每一个方程都表示三维空间中的一张平面，取两张平面的交集，就是一条直线。所以，方程组的解表示一条直线上的所有点，因此，解有无数个。,方程组的所有解可表示为:,例3,解线性方程组,解,初等行变换,以为增广矩阵的线性方程组的最后一个方程为,0=1,这是一个矛盾方程,因此原方程组无解.,综上所述,线性方程组的解有三种可能的情况:唯一解,无解,无穷多解.,一般地，给出线性方程组Ax=b，用初等行变换和列互换把其增广矩阵化为阶梯形矩阵.,r(A)=r,其中,思考题：为何列互换可以，但是其余的两种列变换却不可以？,提示：1，从方程组的等价性考虑，作其余两种列变换是否改变了方程组；2，作列互换的时候，方程组形式上发生了改变，但是本质上没有发生变化。不过需要注意什么？,1，当dr+1=0且r=n时，此时，,不失一般性，未知量编号仍按原次序，则方程组有以下唯一解：,此时，易写出与之对应的方程组。不过由于进行了列互换，对应方程组中的未知量编号次序会有差别，但方程组仍然同解。显然，方程组有解当且仅当r(A)=r()。下分几种情况讨论.,r(A)=r()=n。,2，若dr+1=0,且rn时,此时,对应的方程组为,n,移项可得,其中,是自由未知量,共有(n-r)个,当这(n-r)个自由未知量取不同的值时,就得到方程组Ax=b不同的解.若令,其中,为任意实数,则方程组Ax=b,有无穷多解,这些解的全体，即通解可表为.,此时，,综上,可得如下,定理,(线性方程组有解的判定定理),线性方程组Ax=b有解的充要条件是,当,n,时,方程组,有无穷多解;当,n时,方程组有唯,一解;当,时，无解.,3，若dr+10,方程组中出现矛盾，故无解。,推论1,齐次线性方程组Ax=0一定有零解;,如果r(A)=n,则只有零解;它有非零解的充分必要条件是r(A)n.,推论2,若齐次线性方程组Ax=0中方程的个,数小于未知量的个数,即mn,则它必有非零解;,若m=n,则它有非零解的充要条件是|A|=0.,例4,解齐次线性方程组,解,对系数矩阵施行初等行变换化为最简形:,由最简形矩阵得原方程组的同解方程组为,由此可得,x3,x4为自由未知量,可取任意实数.,令x3=c1,x4=c2,写成向量形式为：,例5,解齐次线性方程组,解,r(A)=2,r(B)=3,故方程组无解.,例6,设有线性方程组,问取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;,(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.,解,(1)当0且3时,r(A)=r(B)=3,有唯一解.,(2)当=0时,r(A)=1,r(B)=2,方程组无解.,(3)当=-3时,r(A)=r(B)=23,有无穷多解.,当=-3时,由此可得通解,(x3为自由未知量),注,+1,+3等因子可以等于0,故不宜做诸如,这样的,变换.,如果作了这种变换,则需对+1=