随机过程在金融中应用金融市场中维纳过程及小事件概率

第七章金融市场中的维纳过程和小概率事件,第一节随机环境中的微分,第二节两个一般模型,第三节罕见和正常事件的描述,第四节小概率事件的模型,设一资产价格为时间上随机变量,第一节随机环境中的微分,则在给定的时间段上资产价格的变化是随机的，其随机微分形式为,首页,先构建离散时间的随机微分等式,分成长度为h的n等份,则在这些有限间隔内价格的观察值和增量为：,一、随机微分的构建,首页,其中,表示在间隔结束时的可得信息的情况下，完全不可知；反映在第k个间隔内资产价格的真实变化。,表示在间隔结束时的可得信息的期望条件，反映在给出信息集情况下市场参与者的预期。,则,是中的一部分，称为“革新项”,革新项具有特征,1、在间隔结束时未知，而在间隔k结束时可观察到。即知道信息，就能说出其确切值，且,首页,表示在鞅过程中的变化，称作鞅微分。,2,在给出时刻的信息集的情况下，其值是不可测的。,3,即对于所有的k,记累加的误差过程：,原因是,首页,对于一个金融市场参与者来说，其在资产价格中的重要信息是。这些不可测的信息连续发生并且能被在线观察到。因此，资产价格的在线运动就由控制。,说明,二、递增误差的大小,革新项表示一个不可测的变化，其平方项是不可忽略的。（这与传统微分不同）,设的方差为，即,累积误差的方差,且之间不相关，以及干扰项的期望是0。,首页,假设1,默顿方法,注,此假设对证券价格的可变性附加了一个下限，即当间隔被分成越来越小的子间隔，累积误差的方差是正的。也就是越来越频繁的观察证券价格不会消除所有的风险，即资产价格具有不确定性。,假设2,注,这个假设对累积误差的方差附加了一个上限。当时间段被分成越来越小的间隔，更频繁的交易是允许的。这样的交易对系统不会带来非限制的不稳定性。,首页,在假设1，2，3的前提下，的方差与h有关：,假设3,注,假设表明金融市场的不确定性在一些特殊的阶段是不集中的。无论市场什么时候开始，至少会存在一些可变性。即说明在金融市场上可预测不确定性,定理1,其中是一个有限的定数，它并不取决于h而取决于时刻的信息.,首页,证明,由假设3,在所有的间隔上对两边同时求和：,由假设2,即,又因,则,故得出有取决于h的上限.,首页,由假设1,得,即,再假设3,得,故得出有取决于h的下限.,因此,这意味着能找到一个取决于k的定数，使与h成比例：,即可表为,首页,其中在间隔开始给出信息的情况下是不可测的,设是任意一个的随机过程,定理可以引申为,其相应的期望存在，,则在有限的间隔t内，有,三、随机微分等式,为构建时间连续的随机微分等式，对上式右边第一项进行估计：,是一个资产价格变化的预期，其变化的大小取决于最近的信息集和所考虑的时间间隔的长度。,首页,它可写成,如果,时间就会跳过，并且在资产价格的预测变化就是0。即,同普通微分一样，处理随机微分等式时余项可忽略不计，即,故,首页,其中是漂移项，扩散项。,从而有,令,得,即为随机微分等式。,返回,首页,第二节两个一般模型,一、维纳过程,在连续时间下，正常事件可用维纳过程或布朗运动来建模.,（一）讨论维纳过程的方法,1,设一个随机变量,且,则当有,弱收敛于一个维纳过程,首页,设为一具有有限方差的连续过程，,说明,维纳过程是在概率意义下，对独立同分布的随机变量的总和求极限得到的，而这些增量的可能出现的结果，当时会变得越来越小。可知维纳过程服从高斯（正态）分布。,把维纳过程视为一个连续的平方可积鞅来进行分析,2,且在给定信息集下，具有不可预测的增量，,即是一维纳过程,首页,（二）利用鞅来定义维纳过程,（1）,定义1,（2）,则称是一维纳过程,首页,对于具有不可预测的增量和随时间连续运动的资产价格，维纳过程是一个很好的描述模型。,定义2,若满足,即,则称为布朗运动。,首页,注,维纳过程假定是一个平方可积鞅，没有提到的分布问题；而布朗运动假定服从正态分布。但这两个过程没有差异，这可由著名的Levy定理来说明。,定理1,在信息集下的任何维纳过程都是布朗运动过程。,（三）维纳过程特征（补充内容）,特征1,在很小的时间间隔内，维纳过程的变化增量为,其中表示从标准正态分布中的一种随机抽取。,或,首页,特征2,特征3,维纳过程是连续的。,任意两个不同时间区间内的值都是相互独立的。,（因是鞅，而鞅具有不可预测的增量）,在无穷小的间隔内，的变化也是无穷小的,意味着维纳过程是遵循马尔可夫过程。,注,期望,是正态分布，且,方差,标准差,首页,注2,期望,在一段较长时间T内，维纳过程服从的正态分布，且有,方差,标准差,例1,假设某资产的价值变化遵循维纳过程，其初始值为25，估算的时间为一年。在一年结束时，若资产价值按正态分布，其期望值为25，标准差为1，那么在两年期结束时，资产价值依然是期望值为25，但标准差是。,即,在未来某一时间（时间间隔T），资产价值的期望值等于现值，不确定性由标准差估算。,首页,表示附加到S轨迹上的噪声或波动率，且这些噪声或波动率的值为维纳过程的b倍,表示S变量在单位时间的漂移率期望值为a,（四）一般化的维纳过程（补充内容）,基本维纳过程讨论的变量是漂移率为零，方差率为1的过程。下面将维纳过程推广到任意的变量S，则它的定义可以由表示为,（a和b是常数）,其中,若在小的时间间隔，则S的变化可表示为,其中表示从标准正态分布中的一种随机抽取。,首页,具有正态分布，且,同样,若在任意时间间隔T后，则S的变化具有正态分布，且,期望,方差,标准差,期望,方差,标准差,首页,因此,一般化的维纳过程描述的是的漂移率（单位时间的平均漂移）为a，方差率（单位时间的方差）为的正态分布。这就是说，若零时刻变量的值是S，则在T时刻它变为均值为，标准差为的正态分布。,例2,假定某公司的现金头寸（以千美元计算）遵循一般性维纳过程，每年的漂移率为20，每年的方差为900。若最初的现金头寸为50，则在六个月月末的现金头寸将具有均值为60，方差为450的正态分布；在第一年末将具有均值为70，方差为900的正态分布。,首页,（五）伊托过程（补充内容）,若一般化的维纳过程中的参数a和b，分别是基础变量S和时间t的函数，即有,则称它为伊托过程。,伊托过程也是一种推广的维纳过程，它的漂移率和方差率是随着时间的变化而变化。,在研究基础资产价格的变化时，我们通常用伊托过程来描述。如在研究不支付股息的股票时，其价格的变化特征可用下式表示：,首页,即瞬态漂移率和瞬态方差率都按股票价格的比例变化，这就是最为广泛的描述股价变化的模型，有时称为几何布朗运动模型。此模型的离散时间形式为,其中表示股票价格S在很小的时间区间中的变化；表示从标准正态分布中的一种随机抽取；参数为单位时间内股票的预期收益率，参数为股票价格的波动率，且这两个参数都为常数。,首页,例3,考虑一种无红利支付的股票，每年的漂移率为30%、预期收益率为15%（以连续复利计），即、，,或,设时间间隔长度为1周或0.0192年，股票价格的初始值为100美元，即,则,即,表示股票价格的增加是均值为0.288美元，标准差为4.16美元的正态分布的随机抽样值。,则股票价格的过程为,首页,二、泊松过程,考虑一种与正常事件明显不同的随机环境，即在一段时间内，一个金融市场所发生的极端事件的总次数，且这些事件都是不可预测的。,设表示所发生的极端事件的总次数，,若只可能出现两种值，或是等于0，意味着没有新的重大事件发生；或是等于1，表示有重大事件发生。,即可表为,首页,则是泊松过程,若令,且,泊松过程与维纳过程间的比较,（1）轨迹不同：,（2）一次和二次量运动具有相同特征：两个过程的增量方差都比例于小的时间间隔h,注,首页,（3）泊松过程的轨线比维纳过程轨线更规则。,泊松过程在大部分时间内保持恒定，尽管有离散的跳跃，但在小的时间间隔，出现跳跃的概率会趋于0，即它的方差有界。,因为,维纳过程虽显示出无穷小的变化，且这些变化多的不可计量，因此，方差是无界的。,由此可知,定义维纳过程的积分比定义泊松过程积分困难的多。,一般说,泊松过程积分可用Riemann-Stieltjes来定义；维纳过程积分可用Ito积分来表示。,返回,首页,第三节罕见和正常事件的描述,设只会出现一些固定的可能值，,假设4,其中,注,分为两种类型：,正常事件和小概率事件,首页,正常事件,小概率事件,假设对于标的资产是谷物期货的衍生品，,很明显,由这些罕见事件，引起的价格变化程度要比一个点大的多。否则，价格变化就是由正常事件所引起的。,首页,在假设4下，扩展这个结论：,据假设4,在假设13下，证明了一个很重要的结论：,这意味着,首页,由于总和与h成比例，且每一数为非负数，则总和中的每一项都与h成比例或等于0，,即有,从而,因此可得,但与观测间隔长度h无关。,首页,事件大小和概率都与间隔长度h有关.。当h越来越大时，所观测的价格变化尺度（绝对值）和概率也会越来越大，除非等于0。,说明1,当观测间隔越来越小时,决定事件趋于0的速率，,说明2,两者可能消失,但不可能同时消失.,从而有,即,意味着,决定事件的概率趋于0的速率。,首页,故,这样，只可能出现两种情况：,(1),(2),第一种情况所引起的就是正常事件，第二种情况对应的就是小概率事件.,注1,注2,所引起的也是正常事件,首页,1正常事件,当,则决定发生结果的大小和概率函数分别为,随着时间间隔h越来越小，事件的大小也会越来越小;而事件发生的概率与h无关。,因此,即当观测间隔越来越小时，发生结果的大小会很小且具有一个固定的概率，这就是正常事件。,首页,样本路径的特征,（1）连续性,当,即,一方面,故,所以,另一方面,当,以上可看出，正常事件可产生连续时间路径。,首页,(2)不光滑性,故在任何时间t,是不可导.即轨迹是不光滑的.,意味着,从而得知,资产价格变化是连续的却不规则,首页,2、小概率事件,当,则决定发生结果的大小和概率函数分别为,随着时间间隔h越来越小，事件发生的概率也会越来越小,且,因此,而事件的大小与h无关。故是小概率事件.,样本路径特征,不连续性,与h无关,因,所以,即轨迹是不连续的.,首页,又因,则出现跳跃的概率取决于h,当h越来越小时，跳跃出现的概率也会下降，即这些跳跃不是会经常出现.,跳跃性,3、正常事件（续）,则样本路径是连续的却不光滑,同正常事件的维纳过程,因,故不是小概率事件,注意,但只要它们的大小会越来越小，就不能称为小概率事件,返回,首页,第四节小概率事件的模型,维纳过程描述的随机微分方程，在小时间间隔内，不可预期的价格变化分布是正态分布。而正态分布具有一个无穷扩展的尾巴，当时间间隔越来越小，尾巴并没有完全消失，说明维纳过程所描述的价格变化也就越来越小，几乎不变。,而小概率事件表示在极短的间隔内，价格运动能出现巨烈变动时，显然再用维纳过程所描述就不合适。,因此需要加上一个可在极其短的时间间隔产生巨大变化的事件的干扰项，即需要一个可产生跳跃的过程，且这个过程所产生的结果要与h无关，这样，该过程的路径才与小概率事件相符合。,首页,一、资产价格的小概率事件模型,离散间隔随机微分等式,价格变化分两部分,第一部分为在给定信息下可预测的，第二部分则是不可预测的。,连续时间随机微分形式,正常事件维纳过程,首页,描述小概率事件也可采用此微分形式：,与维纳过程唯一不同点：样本路径的连续性。小概率事件的发生也是不可预测的，且它的方差也比例于时间间隔h，即第一部分相同。因此，只要对第二部分作一小的修改即可，,建立新模型的随机不可预测误差项,由于小概率事件，当时间间隔趋于0时，概率可忽略，但事件发生的大小并不是无穷小的。因此，新增项应该能代表资产价格变化中极少出现的跳跃，更进一步说，该模型应该能足够捕捉跳跃发生概率的任何潜在变化。,首页,首先,把误差项分为两部分：,其中表示由发生的正常事件引起的变化，表示由发生的跳跃事件引起的变化,其次精确说明,则在时刻有,令,设资产价格变化的跳跃大小为1，,首页,显然,泊松过程特征,（1）在小时间间隔h，最多有一个事件发生的概率接近于1,（2）至时间t的信息不会有助于预测下一间隔h事件是否会发生；,（3）在固定概率下发生。,由于只有泊松过程能同时满足这些条件，所以用它来为不连续的跳跃事件建模是很好的选择，但还需要作两个修改。,1,某一资产价格的跳跃发生率会随时间变化，而泊松过程中为一固定的发生率，不能解释这种行为，有必要作些调整。,首页,2,中的增量具有非零均值，而随机微分方程中的新增项只具有零均值，因此，需要作些修改以消除均值。,考虑变量,进一步,则跳跃的大小就是独立于时间的。,因此,用来表示资产价格中不可预测的跳跃是很好的选择。,意味着,如果金融工具市场受零星发生的小概率事件影响，则随机微分方程可写为,首页,离散间隔随机微分等式,注1,这个随机微分方程可同时处理正常和小概率事件,连续时间随机微分形式,跳跃部分和维纳过程部分在每一时间t是独立的。,当h越来越小时，正常事件的变化幅度会变得越小，而小概率事件的大小保持不变。在这些条件下，这两种事件相互之间没有关系，它们的瞬时相关性一定为0。,注2,首页,二、考虑各次量,对观测资料的处理都是直接或间接采用标的资产价格过程的适当“量”。“量”就是标的资产价格过程的各种期望值：,如,一次量,二次量,高次量,方差能衡量价格的变动程度，三次量衡量的是价格变化分布的歪斜度，四次量衡量的是分布的宽尾巴。,量反映过程的信息,首页,在