扬大高等代数北大三版-第五章二次型

2020/5/20,课件,1,第五章二次型,学时：10学时。教学手段：讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。基本内容和教学目的：基本内容：二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。教学目的：1、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。2、会化二次型为标准型，规范性。3、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。本章的重点和难点：重点：化二次型为标准型，规范性。难点：正定二次型。,2020/5/20,课件,2,5.1二次型的矩阵表示,2020/5/20,课件,3,一问题提出,平面解析一次曲线：Ax+By+C=0(直线)；二次曲线：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F经平移变换化成为au2+buv+cv2=d经旋转变换化成为a/x/2+b/y/2=d/(二次齐次多项式)可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）；空间解析一次曲面：Ax+By+Cz+D=0(平面)；二次曲面：（平移后不含一次项）Ax+By+Cz+2Dxy+2Exz+2Fyz=G(18-19世纪上半期表示方法)通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为a/x/2+b/y/2+c/z/2=d/据二次项系数符号确定二次曲面的分类,2020/5/20,课件,4,更一般的问题：数域P上含n个变量x1,x2,xn的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题本章中心问题:n元二次型化标准型（平方和）的问题.二、二次型的概念及性质1.定义1数域P上n元二次齐次多项式（近代表示式）f(x1,x2,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+2a2nx2xn+a33x32+2a3nx3xn+annxn2称为P上n元二次型，简称二次型；当P=R时，为实二次型、当P=C时，为复二次型.,2020/5/20,课件,5,*1f(x1,x2,xn)是PnP的n元函数；*2f(x1,x2,xn)=a11x1x1+a12x1x2+a1nx1xn+a21x2x1+a22x2x2+a2nx2xn+an1xnx1+an2xnx2+annxnxn=,f(x1,x2,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a1nx1xn+a22x22+2a2nx2xn+annxnn.,2020/5/20,课件,6,*3性质：1)在二次型f(x1,x2,xn)=X/AX中，矩阵A为对称矩阵；2）把一阶矩阵A=(a)看成数a,则一元二次型f(x)=a11x12=(x1)/(a11)(x1)=X/AX；3)数域P上，f(x1,x2,xn)与n阶对称矩阵一一对应.证明分析：由*2可知，任一二次型都对应某对称矩阵A，即*2给出对应法则：f(x1,x2,xn)A.设f(x1,x2,xn)在下对应的对称矩阵为A，B，即f(x1,x2,xn)=X/AX=X/BX，故知A=B，即是n元二次型与n阶对称矩阵之间的映射.设A是数域P上任一n阶对称矩阵，则X/AX的展开式显然是数域P上的n元二次型，即是满射，而为单射则是显然的，故是双射.,2020/5/20,课件,7,2线性替换,平面解析中，当坐标原点和中心重合时，有心二次曲线一般方程为ax2+2bxy+cy2=f(例：13x210 xy+13y2=72),将坐标轴逆时针旋转0(例：450),即有坐标旋转公式,yy/x/x,2020/5/20,课件,8,定义2将变量x1,x2,xn用y1,y2,yn线性表示的变换称为由x1,x2,xn到y1,y2,yn的线性替换（简称变量的线性替换）.,*1线性替换的矩阵表示：X=CY，C称为线性替换(4)的矩阵；当C可逆时，称(4)为非退化（可逆）线性替换；C不可逆时，称(4)为退化（非可逆）线性替换，其中,2020/5/20,课件,9,*2性质：4)若C可逆，则X=CY是可逆线性替换，且Y=C1X也是可逆的线性替换；5)f(x1,x2,xn)=X/AX是P上的n元二次型，经线性替换X=CY化成f(x1,x2,xn)=Y/BY，则B=C/AC.证明：f(x1,x2,xn)=X/AX=(CY)/A(CY)=Y/(C/AC)Y=Y/BY.由于B/=(C/AC)/=C/A/C/=C/AC=BY/BY是P上n元二次型，且B=C/AC成立.6)二次型的秩在变量的线性替换下保持不变（性质5的推论）证明：如5),在线性替换X=CY下f(x1,x2,xn)=X/AX=Y/BYB=C/AC,C可逆A，B的秩相同，即二次型X/AX与Y/BY的秩相同题设结论成立.性质5给出矩阵之间的一种相互关系，故引入以下概念,2020/5/20,课件,10,三矩阵的合同关系,定义2数域P上n阶矩阵A，B称为合同的，如果存在P上的n阶可逆矩阵C，使得B=C/AC.*1合同的性质：7)矩阵合同是Mn(P)=AA为P上n阶矩阵上的等价关系,即(1)合同具有自反性（A=E/AE，即A与A合同）；(2)合同具有对称性（B=C/ACA=(C1)/BC1）；(3)合同具有传递性（A1=C1/AC1，A2=C2/A1C2A2=C2/(C1/AC1)C2=(C1C2)/A(C1C2)）.8)线性替换X=CY下f(x1,x2,xn)=X/AX=Y/BY,因B=C/AC,故：X=CY为可逆线性替换时，二次型X/AX与Y/BY的矩阵合同;为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；,2020/5/20,课件,11,9)合同的矩阵具有相同的秩；10)与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵.证明：9)设A,B合同，即B=C/AC,且C可逆，故A,B同秩.10)设A/=A，B=C/AC，C可逆B/=(C/AC)/=C/AC=B.*2为什么在变换二次型时，总要求用非退化的线性替换（即C为可逆矩阵）？事实上，当X=C/Y是非退还的线性替换时，可得Y=C1X成立，故原二次型X/AX与变换后的二次型Y/BY是可以互化的，这样就使我们从变换所得二次型Y/BY的性质可以推知原来二次型X/AX的性质.,2020/5/20,课件,12,5.2标准型,中心问题：讨论用非提化的线性替换化二次型成最简形式，即平方和的形式：d1x12+d2x22+dnxn2,2020/5/20,课件,13,证明：（配方法）对n进行数学归纳.n=1：f(x1)=a11x12,已是(1)的形式，命题成立.假定n1时命题成立，现证n时命题成立.分以下情形讨论：1)aii(i=1,2,n)中至少有一个非0，如a110,定理1数域P上任一二次型都可经过非退化的线性替换变成平方和的形式d1x12+d2x22+dnxn2(1),f(x1,x2,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+2a2nx2xn+annxn2,a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+2a1nx1xn=a11x12+2a111(a12x2+a13x3+a1nxn)*A2+2AB+B2=(A+B)2,2020/5/20,课件,14,2020/5/20,课件,15,2020/5/20,课件,16,2)所有aii=0(i=1,2,n),但至少有一个a1j0(j=2,n)不失普遍性，不妨设a120令,2020/5/20,课件,17,2020/5/20,课件,18,定理2数域P上任一对称矩阵合同于对角矩阵,2020/5/20,课件,19,Af(x1,xn)X=CYB=C/ACB,定理2的意义：化n元二次型X/AX成标准型问题寻找一个可逆矩阵C，使得A与对角矩阵D在C下合同（D=C/AC），而定理2说明这样的C一定存在如何找到这个C即为进一步要解决的问题：,C=?时，B=D？,2020/5/20,课件,20,2020/5/20,课件,21,2020/5/20,课件,22,2020/5/20,课件,23,2020/5/20,课件,24,2020/5/20,课件,25,2020/5/20,课件,26,2020/5/20,课件,27,5.3唯一性,2020/5/20,课件,28,问题提出：二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x36x2x3经过不同的线性替换，其结果不同,X=C1W下，f=2w122w22+6w32；X=C2Y下，f=2y1221y22+231y32.其中,2020/5/20,课件,29,Af(x1,xn)X=CYB=C/ACB,回顾上一节内容，有以下事实成立：同一二次型在不同线性替换下的矩阵合同.,C=?时，B=D？,2020/5/20,课件,30,Af(x1,xn)X=C1WD1D2X=C2Y,问题：同一二次型f在恰当的可逆线性替换下的矩阵是对角矩阵，但不同的这样的可逆线性替换下的对角矩阵不同，即所化成的标准型不唯一.,问题：如何处理，可将二次型所化成的标准型唯一确定？,2020/5/20,课件,31,一二次型的秩,*1A，B(Mn(P)合同存在可逆矩阵C，B=C/AC因C可逆，故r(A)=r(B)，即合同矩阵的秩相等；*2原二次型X/AX经X=CY(C可逆)化成新二次型Y/BY,则A，B合同新、旧二次型的矩阵秩相同，即可逆的线性替换不改变原二次型的矩阵的秩，该秩刻画了二次型的一种本质属性引入以下概念：1.定义：二次型f(x1,x2,xn)=X/AX中矩阵A的秩称为二次型f的秩；2.性质：1)可逆线性替换不改变二次型的秩；,2020/5/20,课件,32,2020/5/20,课件,33,二复二次型（复数域C上的二次型）,1.规范型：z12+z22+zr2称为复二次型的规范型.2.定理3任一复二次型经适当的可逆线性替换可化成规范型，且规范型唯一.*该定理的矩阵语言描述：任一秩为r的复对称矩阵合同于一个对角矩阵,2020/5/20,课件,34,证明：设复二次型f=X/AX,r(A)=r存在可逆线性替换X=C1Y(C1可逆),使f=X/AX=(C1Y)/A(C1Y)=Y(C1/AC1)Y=d1y12+dryr2(di=1,r,1rn)取可逆线性替换,2020/5/20,课件,35,3.两复对称矩阵合同的充要条件是其秩相等,(复对称矩阵按合同关系可分为n+1个不同的类)；复二次型共有n+1个不同的类型,其秩为决定因素.,2020/5/20,课件,36,三实二次型,z12zp2zP+12zr2称为实二次型的规范型规范型完全由p,r所确定(其中r为二次型的秩，它确定了规范型中非零项的个数，p确定了规范型中正、负项的个数）.定理4（惯性定理）任一实二次型经适当的可逆线性替换可化成规范型，且规范型唯一.,2020/5/20,课件,37,2020/5/20,课件,38,2020/5/20,课件,39,2020/5/20,课件,40,惯性定理的意义,定义3实二次型的规范型中正平方项的个数p称为该二次型的正惯性指数；负平方项的个数rp称为该二次型的负惯性指数；其差p(rp)=2pr称为该二次型的符号差.,*1实二次型的标准型虽不唯一，但由于标准型到规范型的变换中，非零项的个数，正(负)项个数并未发生变化据惯性定理中规范型的唯一性可知：实二次型的标准型中的非零项个数及正(负)项个数由秩和正(负)惯性指数唯一确定，即在不考虑系数数值差异的前提下，实二次型的标准型唯一确定；,2020/5/20,课件,41,*2定理3、4的矩阵语言描述定理5：,2020/5/20,课件,42,*3称二次型X/AX与Y/BY可互化，如果存在可逆的线性替换X=CY，使得B=C/AC1)X/AX与Y/BY可互化当且仅当A，B合同；2)设数域P上n元二次型全体构成集合M(P)，则二次型的互化关系是M(P)的一个等价关系.证明：1)显然.2)X=EX，有A=E/AEX/AX与X/AX可互化；X/AX与Y/BY可互化,显然Y/BY与X/AX可互化；X/AX与Y/BY可互化,Y/BY与Z/DZ可互化有可逆线性替换X=C1Y,Y=C2Z,使B=C1/AC1,D=C2/BC2有可逆线性替换X=C1C2Z，使D=(C1C2)/A(C1C2)X/AX与Y/BY可互化命题成立.,互化意义：若存在X=CY,C可逆，且B=C/ACY=C-1X,A=(C/)-1BC-1=(C-1)/BC-1X/AX=(CY)/A(CY)=Y/(C/AC)Y=Y/BY；Y/BY=(C-1X)/B(C-1X)=X/(C-1)/BC-1)X=X/AX,2020/5/20,课件,43,3)复二次型按可互化分成n+1个不同的类(型).证明：复二次型X/AX,Y/BY可互化A,B合同A,B的秩相等复二次型X/AX,Y/BY的秩相等.而秩的所有可能的结果为r=0,1,n,共n+1种命题成立.,f(x1,xn),f,g可互化,即同一类型共n+1个不同类型,2020/5/20,课件,44,2020/5/20,课件,45,*用矩阵语言描述该性质：复对称矩阵按合同分类共有不同的类,2020/5/20,课件,46,01rn1n,r个正项r1个1个0个,实二次型全体M(R),2020/5/20,课件,47,5.4正定二次型,2020/5/20,课件,48,一正定二次型的概念,定义1实二次型f(x1,xn)是正定的，如果对任意不全为零的c1,cnR，f(