结构力学第九章.ppt

9-1矩阵位移法基本概念9-2单元劲度矩阵9-3可动结点劲度矩阵9-4可动结点等效荷载列阵9-5单元杆端力和支座反力9-6例题9-7平面刚架计算程序,第九章矩阵位移法,91矩阵位移法的基本概念,一、坐标系和符号规定图示连续梁：,1.整体坐标系xyz2.结点位移、结点力等量值沿坐标轴正向为正，反之为负。,位移法求解基本系：,二、数字编号,1.结点编号2.单元编号3.结点位移编号,三、结点位移列阵,四、可动结点平衡矩阵方程,位移法典型方程写成矩阵形式可动结点平衡方程：,可动结点劲度矩阵,可动结点等效荷载列阵,（一）的建立1.回顾位移法中计算Kij的过程作单位弯矩图：,中结点B:结点C:,中结点B：结点C,2.将上述过程用矩阵表示,（1）局部坐标系；,单元杆端位移、杆端内力等量值以局部坐标系正向为正，反之为负。,（2）单元杆端可能的杆端位移和杆端力；,（3）单元位移引起的杆端内力；,（5）结点平衡：,可动结点劲度矩阵由相交于结点的各单元劲度矩阵相应元素叠加求得。,（二）的建立：,1.回顾位移法中求解FR1P的过程：作荷载弯矩图：,结点平衡,结点B：,结点C,2.将上述过程用矩阵表示：（1）荷载引起的单元固端力：单元1,单元2,单元3,FLi：单元固端力列阵。,(2)结点平衡：结点B：,结点C：,结论：作用在单元上的荷载引起的等效荷载：由相交于结点的各单元固端力列阵相应元素反号叠加求得。,五、解方程：,六、单元杆端力的计算：位移法法中有叠加公式：,对杆端力写成矩阵形式：,局部坐标系中单元杆端内力列阵。局部坐标系中单元杆端位移列阵。,由杆端内力画弯矩图、剪力图：,七、支座反力的计算：,由内力图：考虑支座结点平衡：结点A：,结点B：,结点C：,结点D：,返回,92单元劲度矩阵,一、杆件单元的空间位置平面杆件单元i,整体坐标系oxyz,局部坐标系oxmymzm,思考：考虑空间杆件单元。,二单元局部坐标系的劲度矩阵,1.平面铰接单元,单元结点位移,单元杆端力,为表示方便，平面铰接单元常采用下述方法：,2.平面固接单元单元结点位移单元杆端力,单元劲度矩阵,三、单元转换矩阵单元分析,一般在局部坐标系中进行,整体分析（如：力的平衡）,一般在整体坐标系中讨论,两种坐标系中杆端力，位移分量之间的关系转换矩阵,整体坐标系中：局部坐标系中：,写成矩阵形式：其中：,称为平面固接单元的转换矩阵。同理：,思考：给出平面梁单元，平面铰单元的转换矩阵,四、单元在整体坐标系中的劲度矩阵,整体坐标系局部坐标系,从局部坐标系出发，两边前乘,五、单元劲度矩阵的性质,1、kmiki为对称矩阵2、kmiki为奇异矩阵,反力互等定理:k支座发生单位位移时在m支座内引起的反力，等于m支座发生单位位移时在k支座内引起的反例。,不存在，即已知可求出，反之，已知无法求出对应的。,物理意义：,已知结点力列阵单元相对位移单元绝对位移。,限制刚体位移,返回,93可动结点劲度矩阵,一、形成可动结点劲度矩阵的步骤,步骤：1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号：2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）；3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi4.计算单元转换矩阵Ti5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵6.按”对号入座”原则，将ki叠加到中。,例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I,A为常数。,解：1.编号，如图（b)2.确定单元杆端自由度序号。,3.计算kmi,4.计算单元转换矩阵,5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵,6.根据单元杆端自由度序号叠加,二、可动结点劲度矩阵性质,1.对称方阵2.非奇异矩阵3.稀疏带状矩阵,反力互等定理,考虑了约束条件，排除了刚体位移,只有临近结点之间才有相互影响,返回,94可动结点等效荷载列阵,一、直接作用在结点上的荷载将结点集中荷载按自由度方向分解，将各荷载分量直接叠加到可动结点荷载列阵中二、作用在单元上的荷载步骤：1.求单元固端力；2.转换至整体坐标系中；3.按照单元杆端自由度序号叠加到可动结点等效荷载列阵中,例,解：（一）结点集中荷载,（二）单元荷载1.求局部坐标单元固端力,2.转换到整体坐标,3.叠加,返回,95单元杆端内力和支座反力,一、单元杆端内力1.计算公式,2.求解步骤（1）形成单元局部坐标系下的单元劲度矩阵kmi（2）形成转换矩阵Ti（3）形成杆端位移列阵（4）形成固端力列阵FLi（5）计算单元最后杆端力，先计算在计算或用计算。,二、支座反力求解步骤：1，将Fmi转换至整体坐标系中；2.根据单元自由度序号列阵将杆端力Fi叠加至支座反力列阵中。,返回,96例题,例1设EA=常数，试用矩阵位移法分析图示的平面桁架。解：1.建立坐标系与编号2.可动结点的位移列阵为,3.可动结点的平衡方程为,4.求,（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：,（2）求kmi,(3)求ki,单元（1）:Cx=0Cy=1杆长：l,同理：,（4）求按照“对号入座“原则，由ki形成k哪,例如：,同理：,5.求：对于桁架，一般只有结点荷载，于是,6.求结点位移,得,7.求杆端力Fmi,8.求支座反力,例设EI=常数，EA=常数，EI=20EA，试用矩阵位移法分析图示的平面刚架。解：1.建立坐标系与编号2.可动结点的位移列阵为3.可动结点平衡方程4，求,（1）计算个单元的方向余弦和杆长：,（2）求kmi,（3）求ki,(4)求,(5)求：,（1）直接作用在结点上的荷载为,(2)作用在单元上的荷载,把FL沿整体坐标系方向分解，得,从而得,6.求结点位移,7.求杆端力Fmi,8.求支座反力支座反力由下式,计算，得,9.内力图,例2求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆，AB杆、CD杆杆长，BC杆杆长。,图221(b),解：（1）建立坐标系和编号单元划分、节点编号、节点位移或节点力编号，整体坐标系及单元的局部坐标的方向如图221（b）所示。（2）可动节点列阵为（3）整体平衡方程,（4）各单元的劲度矩阵各单元在局部坐标系中的劲度矩阵由式（228）得,各单元在整体坐标系下得单元劲度矩阵所以，由得,789123,123456,123456,789123,123456123456101112456123456,123456,123456,123456,101112456,（5）整体劲度矩阵根据对号入座原则，叠加出整体劲度矩阵如下,123456,123456,123456,123456,123456,123456,789101112,123456,(6)整体等效节点荷载列阵直接作用在节点上的荷载列阵作用在单元上得固端力引起得等效荷载列阵查载常数表，得单元在局部坐标系中得固端力列阵,123456789101112,再把转换到整体坐标中，由得789123123456101112456123456789101112,整体等效节点荷载列阵由得所以,123456789101112,123456,789101112,（7）计算结点位移列阵由解得,(8)计算各单元杆端力由式计算得,同理,（9）计算支座反力由得,（10）绘制内力图根据所得的最后杆端力，作,图，如图所示,(a)M图(kN.m),(b)图(kN),(c)图(kN),返回,97平面刚架计算程序,一、源程序,二