现代控制理论复习题

概念：设动态系统为，（1）若，则称为（状态转移矩阵 ）（2）若，则称为（ 传递函数矩阵 ）（3）若，则称为（能控性矩阵）（4）若，则称为（能观性矩阵）（5）若，则称为（输出能控性矩阵）（6）李雅普诺夫方程，其中为正定对称阵，当使方程成立的为（ 正定对称阵 ）时，系统为渐近稳定。（7）设系统，如果存在一个具有一阶导数的标量函数，并且对于状态空间X中的且非零点x满足如下条件：为（正定）；为（负定）；当时，。则系统的原点平衡状态是（大范围渐近稳定的）。（8）状态反馈不改变系统的（可控性）。输出至状态微分反馈不改变系统的（可观测性）。输出至参考输入反馈，不改变系统的（可控性和可观测性）。状态反馈和输出反馈都能影响系统的（稳定性和动态性能）。（9）状态反馈控制的极点任意配置条件是系统状态（完全可控）。状态观测的极点任意配置条件是系统状态（完全可观）。（10）系统线性变换时，变换矩阵必须是（非奇异的，或满秩）的。二：已知系统传递函数 ，试求约当型动态方程。解：由上式，可得约当型动态方程三：试求下列状态方程的解 的解解：由题意可得： 五：设系统状态方程为，并设系统状态可控，试求。解：令时，即可满足可控性条件。六：试确定使系统可观测的。解： 时，于是系统可观。第A9-3题：系统微分方程为 ， 其中u为输入量；x为输出量。设状态，试写出系统的动态方程；设状态变换，试确定变换矩阵T，及变换后的动态方程。参考答案：列写系统的动态方程求变换矩阵T和变换后的动态方程由题意知 , 故变换矩阵 由于 , , 变换后的动态方程, 第A9-5题：已知系统结构图，其状态变量为x1，x2，x3。试列写动态方程。参考答案：将频域参量s视作微分算子，可得 ，整理得动态方程 写成向量矩阵形式, 第A9-6题：已知系统传递函数为试求可控标准型（A为友矩阵），可观标准型（A为友矩阵转置），对角型（A为对角阵）动态方程。参考答案：由于 串联分解，引入中间变量z，可得微分方程 选取状态变量 ， 则状态方程 ，则输出方程 可控标准型动态方程 利用能控性与能观性的对偶关系， ， ， 由可控标准型得可观标准型动态方程 由于 故1=-1，2=-3为系统的单实极点，且有因此， 令状态变量 ， 其反拉氏变换 ， ， 因此对角型动态方程 第A9-13题：已知线性系统的状态转移矩阵为试求系统的状态矩阵A。参考答案1：由状态转移矩阵性质 参考答案2：由状态转移矩阵性质所以第A9-14题：设系统(A,B,C)的状态矩阵为试求系统的状态转移矩阵：参考答案1：拉氏变换法参考答案2：线性变换法由于A是友矩阵，故有，所以， 参考答案3：待定系数法根据凯莱-哈密顿定律因A的特征值1 = 2 = 1, 3 = 2, 则有第A9-15题：已知线性定常自治系统的状态方程, 试求系统的状态轨线。参考答案：线性定常齐次状态方程的解， ， 第A9-19题：已知线性动态方程为, 试求传递函数阵G(s)。参考答案： 第A9-21题：已知 ad = bc, 试计算参考答案： 设，则A的特征多项式为由数学归纳法第A9-22题：设系统的传递函数为，试求：可控标准型实现；可观标准型实现；对角型实现；下三角型实现；参考答案： 可控标准型实现引入中间变量z，使可得微分方程， 选择，则有系统的可控标准型实现， 可观标准型实现对应系统的微分方程， 选择状态变量， 则有系统的可观标准型实现， 对角型实现；将传递函数分解成部分分式设, , 可得 ， ， 系统的对角型实现为， 下三角型实现；将传递函数分解成设, , 可得 ， ，系统的三角型实现为， 第A9-26题：设有不稳定线性定常系统（A，b，c），其中，能否通过状态反馈把系统的闭环极点配置在处？若能，试求出实现上述极点配置的反馈增益向量k； 当系统状态不可直接测量时，能否通过状态观测器来获取状态变量？若能，试设计一个极点位于处的等维状态观测器；参考答案： 反馈增益向量k系统的可控性矩阵及秩，rankP = 3系统是可控的，可以通过状态反馈来进行极点配置，设反馈增益向量系统的闭环特征多项式 闭环系统期望的特征多项式 比较同次系数得 ， 反馈增益向量系统状态可观测矩阵及秩，rankV = 3系统是可观测的，可以通过状态观测器来获取状态变量。利用输出至状态微分反馈来配置极点，设反馈增益向量h，先将（A，c）化为能观标准型 变换矩阵，设 ， 状态观测器的特征多项式为期望的状态观测器的特征多项式为比较同次系数得 ， 要设计的等维状态观测器 【A9-27】试用李雅普诺夫第二法判断系统的原点稳定性： 【参考答案1】方法一：原点(x1=0, x2=0)是该系统唯一的平衡状态.选取正定标量函数则有对于状态空间中的一切非零x满足V(x)正定,负定，故系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。方法二：系统状态方程写成向量矩阵形式， 系统状态矩阵 ， 即A是非奇异的，故原点xe=0是系统唯一的平衡状态。设系统的李雅普诺夫函数及其导微分分别为则 成立。取 Q = I，上式为其中p12=p21求解该矩阵方程可得由于，对称矩阵P是正定的。系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。【参考答案2】原点(x1=0, x2=0)是该系统唯一的平衡状态. 系统状态方程向量矩阵形式若选取 解李雅普诺夫方程 得 ，由于， 为不定，则难以判定系统的稳定性。用特征根判别 可见系统原点平衡状态是不稳定的。【参考答案3】原点(x1=0, x2=0)是该系统唯一的平衡状态.选取正定标量函数则有对于状态空间中的一切非零x满足V(x)正定,负定，故系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。注：， 选取都行。【参考答案4】系统状态方程向量矩阵形式，即 若选取 代入离散李雅普诺夫方程 得 展开得方程组 解之得 由于， 为正定，故系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。【6题】：设有不稳定线性定常系统（A,b,c），其中 ，, 能否通过状态反馈把系统的闭环极点配置在