工程数学线性代数第一章同济第.ppt

,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,若记,或,记,即,得,得,则三元线性方程组的解为:,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,例4解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,三、小结,思考题,思考题解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数的线性方程组,又,得,故所求多项式为,一、概念的引入,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,123,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,二、全排列及其逆序数,问题,定义,把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.,由引例,同理,在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.,例如排列32514中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,32514,定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如排列32514中，,32514,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法2,例1求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,32514,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当时为偶排列；,当时为奇排列.,解,当为偶数时，排列为偶排列，,当为奇数时，排列为奇排列.,2排列具有奇偶性.,3计算排列逆序数常用的方法有2种.,1个不同的元素的所有排列种数为,三、小结,思考题,分别用两种方法求排列16352487的逆序数.,思考题解答,解,用方法1,16352487,用方法2,由前向后求每个数的逆序数.,一、概念的引入,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有项，即项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、n阶行列式的定义,定义,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是项的代数和;,3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;,4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;,5、的符号为,例1计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以只能等于,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例2计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,例5,设,证明,证,由行列式定义有,由于,所以,故,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,思考题,已知,思考题解答,解,含的项有两项,即,对应于,一、对换的定义,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,二、对换与排列的奇偶性的关系,定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,除外，其它元素的逆序数不改变.,当时，,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当时，,现来对换与,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,定理2阶行列式也可定义为,其中为行标排列的逆序数.,证明,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此,知推论成立.,证明,按行列式定义有,记,对于D中任意一项,总有且仅有中的某一项,与之对应并相等;,反之,对于中任意一项,也总有且仅有D中的某一项,与之对应并相等,于是D与,中的项可以一一对应并相等,从而,定理3阶行列式也可定义为,其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.,解,下标的逆序数为,所以是六阶行列式中的项.,下标的逆序数为,所以不是六阶行列式中的项.,例2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.,解,431265的逆序数为,所以前边应带正号.,行标排列341562的逆序数为,列标排列234165的逆序数为,所以前边应带正号.,例3用行列式的定义计算,解,1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,2.行列式的三种表示方法,三、小结,其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.,思考题,证明在全部阶排列中,奇偶排列各占一半.,思考题解答,故必有,一、行列式的性质,性质1行列式与它的转置行列式相等.,行列式称为行列式的转置行列式.,记,证明,按定义,又因为行列式D可表示为,故,证毕,性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,是由行列式变换两行得到的,于是,则有,即当时,当时,例如,推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,故,证毕,性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2计算阶行列式,解,将第都加到第一列得,例3,证明,证明,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的6个性质,思考题,思考题解答,解,例如,一、余子式与代数余子式,例如,例如,即有,又,从而,再证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例1,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例计算行列式,解,按第一行展开，得,例计算行列式,解,1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,一、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即,那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为,证明,在把个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当时,方程组有唯一的一个解,也是方程组的解.,二、重要定理,定理2如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.,齐次线性方程组的相关定理,有非零解.,系数行列式,例1用克拉默则解方程组,解,例2用克拉默法则解方程组,解,解