用几何画板探究三角形中的费马点和它的一个应用

用几何画板探究三角形中的费马点和它的一个应用鄞州区钟公庙中学 童文虎关于三角形中的费马点问题，已被编入浙教版八年级数学下册4.2节后的设计题，但书本和教参都并没有给出其探究结果和方法。查找有关资料，发现对于费马点的探求大都分两种情况进行独立探究，这样在揭示这两种情况的相关性方面就有所欠缺。本文运用几何画板，通过连续变化，揭示两种情况的相关性，以改进上述不足。费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。下面我们来探求费马点：如图1，在几何画板中作ABC，和任意点P，为了使线段PA、PB、PC连接起来，我们把APC绕点A旋转60得APC。这时， PA=PP，PC= PC，所以PA+PB+PC=BP+PP+PCBC。移动点P点使点P、P在线段BC上，如图2，此时PA+PB+PC= BC成立，因为线段BC长是一个定值，所以，点P即为探求的费马点。 图1 图2在图2中，APP是正三角形，PAP=CAC=60，APB=120，APC=APC=120，BPC=360-APB-APC=120，BAC=BAC-CAC180-60=120，即BAC120，PA+PB+PC=BP+PP+PC=BC+2PPBC,PA+PB+PC=BC不成立，点P不能确定为探求的费马点。究其原因，是因为BAC+CAC 180时，点P、P在线段BC上的相对位置发生了变化，也就是说本来四个点顺次是B、P、P、C，点P在点B、P之间，而现在是点P在点B、P之间。所以，为保证PA+PB+PC=BC成立，必须BAC+CAC 180。所以，当BAC 120时，调整旋转角CAC=180-BAC60，这时点C在BA的延长线上， PA PP，PC= PC，PA+PB+PCBP+PP+PCBC= AB+AC=AB+AC，等号在点P与点A重合时成立，如图5。 图5 综上所述，得出如下结论：当三个内角都小于120时，费马点P是满足APC=BPC=CPA=120的ABC内一点。当三角形有一个内角大于或等于120时，费马点就是这个最大内角的顶点。下面给出当三个内角都小于120时，费马点P的作法：如图6，分别以AB、AC为边向ABC形外作正ABB和正ACC，连接BC和BC，因费马点既在BC上，又在BC上，所以它们的交点P即为费马点。图6下例是作为上述结果应用的一个典型例题：例：如图7，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄供水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？ 图7 图8它在公路、自来水、煤气管道或是电力线路设计等方面都有一定应用价值，现探讨如下：分析：在几何画板中，如图8，分别用点A、B表示张村、李村，用直线m表示河，如果直接由水泵站向两村供水，则作点B关于直线m的对称点B，连接A B交直线m于点P，则水泵站修在点P1时，所用水管最短，如图8。图9但是当APB120时，ABP存在异于点P1的费马点O，有OAOBOP1P1AP1B，可见水管由点P1引到点O后再直接向A、B两地供水，其总长要更小一些。在几何画板中删除点B，然后把点B绕点A旋转60得点C，作ABC的外接圆，因为当点O是ABP内的费马点时，AOB=120，所以点O在120的圆弧AB上。设水泵修建点为P2，根据“直线外一点与直线上的各点的连接的线段中垂线段最短”必有OP2m, 所以AOC=60，AOP2=120，COP2=AOC+AOP2 =60+120=180，即点O在过点C作直线m的垂线上；所以，寻求的费马点O必是过点C作直线m的垂线与120的圆弧AB的交点。在几何画板中作出点O和点P2，因为用对称点P则水管由点P引到点O后再直接向A、B两地供水，其总长最小，如图9所示。选中直线m，慢慢地向上移动，如果符合条件的点O不在ABP内，则点O必是的顶点，若点O与点P重合，即点O在直线m上，则可用轴对称法作出，如图8。若点O与点A或是点B重合，则PAB120或PBA120，此时直线AB与直线m的交角大于或等于30。如果符合条件的点O在ABP内，如图10，以AB为一边作正ABC，和ABC的外接圆设点O是符合本例条件的费马点，则AOB=120，即点O在120的圆弧AB上；又AOC=60，AOP=120，所以COP=AOC+AOP =60+120=180，即点O在过点C作直线m的垂线上；所以，寻求的费马点O必是过点C作直线m的垂线与120的圆弧AB的交点。但是反过来：过点C作直线m的垂线与120的圆弧AB的交点O是不是一定是本例所寻求的费马点？如图12，点O在ABP外，不是ABP的费马点。因此，此例就要对位置进行讨论。图11 问题2：有人讨论时分为图11的情形是当直线与圆相离时，费马点是ABP内一点；而图12的情形是当直线与圆相交或是相切时，费马点是直线m上一点。 图13如图13，直线与圆相交，费马点似乎不在直线m上！下面对一般情况进行讨论：设直线AB与m的夹角为。（1）当30时（）如图10，当点P在圆外时，由AOB=AOP=BOP=120知，点O是符合条件的费马点。因此水泵站修在点P，水管由点P引到点O后再直接向A、B两地供水，所需水管最省。此时铺设的水管呈“Y”字型。（）如图11，当点P在圆上时，如果费马点在直线m上，作点B关于直线m的对称点B，连接AP、PB，则APB=120，BPC=60，BP B=2（90-60）=60，AP B=120+60=180，所以点A、P、B在同一直线上。也就是说如果费马点在直线m上，则为点P，如果不在直线m上，则在（）如图11，当点P在圆内或圆上时，点O在ABP外，不是ABP的费马点，说明无论点P选在直线m的何处，在ABP内找不到符合条件的费马点。所以符合条件的费马点O只能是ABP中内角不小于120的角顶点。若点A是符合条件的费马点，则BAP=90180,所以AOB=60120。因此，点O不符合费马点条件。所以符合条件的费马点只能是ABP中内角大于120的角顶点。 图13 图14如图19，若点A是ABP费马点，则BAP=90-120,所以点A不可能是费马点。如图20，若点P是ABP费马点，作点A与点B关于直线m的对称点A、B，则A B与B A