球的主要性质

球的主要性质性质1. 球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.已知球的半径为.(1)若截面经过球心.如图1，设是截面与球面的任意一个交点，连接.由球的定义可知，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即该截面是圆.(2)若截面不经过球心.如图1，设球心在截面上的射影为，是截面与球面的任意一个交点，连接，和，则为定值，且也为定值，所以为定值，因此，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即该截面也是圆.性质2. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.如图2所示，若圆是球的小圆，则.证明：如图，设，分别是圆的两条直径，连接，.依题意可得，所以.同理可得，又因为，所以.性质3. 如图2，设球的半径为，球的小圆的圆心为，半径为，球心到小圆的距离，则由性质2得，或.性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.如图3，设球的两个平行截面的圆心分别为，连接，由性质3可知，又因为，所以.同理可得，且，所以，三点共线，因此，垂直于和，且.性质5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长.性质6. 若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.例1.(10年第10题)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )(A) (B)(C) (D)解：如图，设球心为，半径为，底面的中心为，连接，和.依题意得，故选(B).例2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上. 若，则此球的表面积等于 . 解：如图，设球心为，底面的外接圆的圆心为，半径为，连接，和.由余弦定理得，再由正弦定理得，即.又由性质6得，此球的表面积.性质7. 设底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的顶点都在一个球面上，则该球的半径.证明：如图4，设正方形的中心为，球心为，连接，则点在上，且.依题意得，即，.例3.(11年第15题)已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，则棱锥的体积为_解：如图，设点是点在底面上的射影，连接，.依题意得，棱锥的体积为.性质8. 设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为的所有顶点都在一个球面上，则该球的半径.证明：如图5，设点在底面上的射影为，球心为，半径为，则点在上，且.依题意得，即，即，.例4.(15年第9题)已知，是球的球面上两点，为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )(A)(B) (C) (D)解：如图，设球的半径为，依题意可知，当，即时，三棱锥体积取得最大值，这时有，球的表面积为，故选(C).例5.(12 年第11题)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为( )(A) (B) (C) (D)解：如图，连接，. 为球的直径，是的中点，点到底面的距离等于点到底面的距离的，三棱锥是正三棱锥，在底面 的射影等于，三棱锥的高，故选(A).例6.(08年第14题)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 . 解：如图，在六棱柱中，连接， ，和. 由平面几何知识可知， 是矩形，又由已知得，.六棱柱的侧棱垂直于底面，是长方体.设，则六棱柱的体积为，该球的半径为，该球的体积为.例7.已知球的直径，、是该球球面上的两点，则棱锥的体积为( )(A) (B) (C) (D)解：如图，是球的直径，又，.过，连接，由平面几何的知识可知，且，棱锥的体积，又，.例8.高为的四棱锥的底面是边长为的正方形，点、均在半径为的同一个球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为( )(A) (B) (C) (D)解：如图，设四棱锥的外接球的球心为，顶点在底面的射影为，底面的中心为，连接，则依题意得.在中，过作，垂足为.，是矩形，.例9.已知在半径为的球面上有、四点，若，则四面体的体积的最大值为( )(A) (B) (C) (D)解：如