电子科大 现代光学习题集

第一章 现代光学的数理基础 1. 傅里叶变换的定义 2. 傅里叶变换基本定理 3. 常见非初等函数及其傅里叶变换 4. 相关和卷积的定义及运算 5. 抽样定理 6. 空间频率的意义 常用傅里叶变换对能够查找和应用 第二章 标量衍射理论 1. 亥姆霍兹基尔霍夫积分定理 2. 平面屏衍射的菲涅尔、索末菲衍射积分公式 3. 菲涅尔衍射与夫琅禾费衍射的计算 4. 薄透镜的傅里叶变换性质(频谱面上物的频谱计算) 第三章 光学成像系统的频谱分析 1. 相干、非相干照明实空间和谱空间成像公式 2. 相干传递函数和光学传递函数的定义及计算 3. 相干照明和非相干照明的比较 第四章 光学信息处理 1. 几种光学成像系统的结构及功能分析 2. 傅里叶频谱滤波运算 第五章 光学全息术 1. 记录与重建 2. 基元全息的成像理论分析 3. 傅里叶变换全息的分析 第六章 部分相干理论 1. 实函数的解析表示及频谱间的关系 2. 互相干函数、复相干度、互强度、复相干因子的定义 3. 干涉光场的强度分布及可见度与上述参数的关系 3. 范西特泽尼克定理的应用 习题集 第一章 现代光学的数理基础 课件上的课件上的1515个例题个例题 第二章 现代光学的数理基础 课件上夫琅禾费衍射课件上夫琅禾费衍射5 5个例题、个例题、 菲涅尔衍射菲涅尔衍射4 4个例题个例题 1. 1.基尔霍夫衍射公式中，同时对光场和其法向导数基尔霍夫衍射公式中，同时对光场和其法向导数 施加了边界条件，从而导致了理论本身的不自洽性。施加了边界条件，从而导致了理论本身的不自洽性。 索末菲选用了新的格林函数，使新的格林函数或其导数索末菲选用了新的格林函数，使新的格林函数或其导数 在衍射孔径面在衍射孔径面上为零，这时就不必同时对光场和其法向导上为零，这时就不必同时对光场和其法向导 数施加边界条件。数施加边界条件。 2. 2.如果选择格林函数为如果选择格林函数为 3. 3.若用一单位振幅的单色平面波垂直照明如下图若用一单位振幅的单色平面波垂直照明如下图 所示的方形环带，试导出该方形环带的夫琅和费衍射所示的方形环带，试导出该方形环带的夫琅和费衍射 的表达式。的表达式。 4. 4.若衍射孔径的透射率函数分别为若衍射孔径的透射率函数分别为 采用单位振幅的单色平面波垂直照明上述孔径，求菲涅采用单位振幅的单色平面波垂直照明上述孔径，求菲涅 耳衍射图样在孔径轴上的强度分布。耳衍射图样在孔径轴上的强度分布。 第六章 部分相干理论 课件上准单色圆形光源光场的课件上准单色圆形光源光场的 相干性例题相干性例题 20 1. 1. 在如下图所示的杨氏干涉实验中，采用逢宽为在如下图所示的杨氏干涉实验中，采用逢宽为a的准单的准单 色缝光源，辐射光强均匀分布为色缝光源，辐射光强均匀分布为I0，中心波长中心波长 =600 =600 nm。 试求：试求： 1. 写出写出Q1和和Q2点的复相干系数；点的复相干系数； 2. 若若a=0.1mm，z=1m，d=3mm 求出求出 观察屏上杨氏干涉条纹的可见度；观察屏上杨氏干涉条纹的可见度； 3. 若若z和和d仍取上述值，要求观察屏上仍取上述值，要求观察屏上 的可见度为的可见度为0.41，逢光源的宽度，逢光源的宽度a 应应 为多少？为多少？ a 光源 d x Q1 Q2 z 观 察 屏 0 0 2 ()exp ()sin () I rectjxd aza x xc z I rectd a z xa cd sin)( 解：（1）应用范西泰特-策尼克定理可求出 Q1和Q2点的复相干系数。因双逢到光 轴等距（=0），光源是一维分布，于是 所以Q1和Q2点的复相干系数为 64 . 0 2/ 2/sin sin)( z xa cdV 41 . 0 / /sin )( zad zad dV 3 2 / zad )(3 . 1 33 101062 3 2 34 mm d z a （2）在观察屏上观察道的干涉条纹的可见度由 Q1和Q2点的复相干系数的模决定，即 （3）若要求 查表可知 即： 第五章 光学全息术 第四章 光学信息处理 第三章 光学成像系统的频谱分析 1. 求光瞳函数具有如下形式的光学系统的相干传递 函数和相应的截止频率。 ( , )()() 22 xy P x yrectrect 解： 相干传递函数 (,)()() 22 iX i Y XY xz f yz f xy H ffrectrect ()() 22 iXiY z fz f rectrect 截止频率 0 i f z 2. 求光瞳函数具有如下形式的光学系统的相干传递函数 和相应的截止频率。 22 ( , )() xy P x ycirc 解： 相干传递函数 22 (,)() iX i Y XY xz f yz f xy H ffcirc 22 () XY i ff circ z 截止频率 0 i f z 3. 设光学系统的光瞳函数为正方形： ( , )()() 22 xy P x yrectrect 求该系统的OTF和截止频率。 解： 总面积 2 0 224S 重叠面积额 22 (2)(2); (,) 22 0; iXiYXY ii XY XY ii z fz fff zz S ff ff zd OTF 0 22 (1)(1); 22(,) (,) 22 0; iXiY XY iiXY IXY XY ii z fz f ff zzS ff Hff S ff zz 00 () () 22 XY ff ff 截止频率 0 2 c ff 4. 设光学系统的光瞳函数为圆形： 22 ( , )() xy P x ycirc 求该系统的OTF和截止频率。 解： 总面积 2 0 S 重叠面积额 22 000 2 2arccos()1 () 222 (,0) 2 0 XXX X i X X i fff f fffz S f f z OTF 2 000 0 22 arccos()1 () 222( ) ( ) 2 0 i I i rrr r fffzS r Hr S r z 截止频率 0 2 c ff 5. 已知光学成像系统的相干传递函数为 ， 0 (,0)rect() 2 X X f H f f 该系统对振幅透射率为 ( , )cos2 A tf 0 0 2 f ff 的一维光栅进行成像，试求在相干和非相干照明两种 情况下像的强度频谱，并比较两种情况下成像效果的 优劣。 解： 相干和非相干情况下成像系统的物像关系为 相干： 2 ig IhU 非相干： 2 22 igg IhIhU 相应的像的强度频谱 相干： igg F IHGHG 非相干： 2 iggg F IhIHHGG 11 ( )cos2()() 22 gAXX GF tFfffff 111 ()(2 )(2 ) 244 ggXXX GGfffff 000 rect()rect()() 222 XXX fff HH fff 相干： 111 ()(2 )(2 ) 244 iggggXXX F IHGHGGGfffff 非相干： 21 ()(2 )(2 ) 2 1 4 igggXXX F IhIHHGGfCffCff C 2 f 两种照明情况下，像强度频谱的直流分量相同， 但频率为 的频率分量的幅度，相干照明比非相干 照明要大些，因此相干照明成像的对比度要大，从这 个意义上讲，相干成像比非相干成像质量要好。 -2-1012 0 0.25 0.5 0.75 1 Gg -2-1012 0 0.25 0.5 0.75 1 Gg*Gg -2-1012 0 1 2 H -2-1012 0 1 2 H*H -2-1012 0 0.25 0.5 0.75 1 FIi=GgH*GgH fX/f0 -2-1012 0 0.25 0.5 0.75 1 FIi=(Gg*Gg)(Gg*Gg) fX/f0 x y 2a O 6. 一个非相干成像系统的光瞳是一个边长为2a的等边 三角形，如图所示，求这个系统在空间频率域中沿fx轴 和fy轴的OTF。 解： （1） 沿fx方向： 总面积 2 0 3Sa 重叠面积： ix zf 22 2 3(1) 2 (,0) 2 0 x X ii X X i fa af azz S f a f z OTF： 2 0 2 (1) 2(,0) (,0) 2 0 x X iix IX X i fa f azzS f Hf Sa f z （2） 沿fy方向 重叠面积： iy zf 22 3 3(1) 3 (0,) 3 0 y y i i y y i f a af zaz Sf a f z 2 0 3 (1) (0,) 3 (0,) 3 0 y y yi i Iy y i f a f Sfz az Hf S a f z OTF： x y O 2 2 2d 7. 一个非相干系统，其光瞳函数为图中所示的圆形孔 径，画出它的光学传递函数沿fx轴和fy轴的截面图 （要标明各个截止频率的值）。 已知半径为w的圆形光瞳的OTF为： 2 0 000 0 2 arccos()1 () 2 222 ( ) 0 2 I rrr rf fff Hr rf 0 i f z 解： （1）fx方向的OTF 由右图可知，在fx方向光瞳的重叠 面积为光瞳是单个圆形情况时的重叠 面积的2倍，同时总面积也为光瞳是 单个圆形时的2倍，因此OTF和光瞳为 单个圆形时的OTF完全相同： 2 0 000 0 2 arccos()1 () 2 222 (,0) 0 2 xx x x Ix x fff ff fff Hf ff （2）fy方向的OTF 当 0 0202 iyy z fff或时，情况和fx方向 的情况完全相同，因此 2 000 2 (0,)arccos()1 () 222 yy y Iy fff Hf fff 当 00 2 22222 iyy i d z fdfff z 或 面积为零，因此OTF为0； 时，重叠 时， 当 2 222 iy dz fd 重叠面积为： 00 22 22 y ii dd fff zz 或 22 000 222 (0,)2arccos()1 () 222 iyiy iy y dzfdzfdzf Sf fff OTF为： 2 2 000 222 (0,) 1 (0,)arccos()1 () 2222 iyiy iy y Iy dzfdzfdzf Sf Hf fff 当 0 2 222 iyy i d z fdff z 或 为0，因此OTF为0。 时，重叠面积 1 2 (,0) Ix Hf 0 2f 0 2f 1 y f 2 i dz2 i dz 0 4 f 0 4 f 光瞳的光学传递函数沿fx轴和fy轴的截面图： (,0) Ix Hf 0 2f 0 2f x f 8. 一个正弦型振幅光栅的振幅透过率为： 000 1 ()1cos(2) 2 t xf x 放在一个直径为l的圆形会聚透镜（焦距为f）之前， 并且用平面单色光波倾斜照明。平面波的传播方向在 x0Oz 平面内，与z轴夹角为，如图所示。 0 x l z 0 d i d 0 y i y i x O （1） 求通过物透射的光的振幅分布的频谱。 （2） 假定d0=di=2f，问像平面上会出现强度变化 的角最大值是多少？ （3） 假定用的倾斜角就是这个最大值，求像平 面上的强度分布。它与 = 0时相应的强度分布比 较，情况如何？ 解： （1）倾斜单色平面波入射，在物平面产生的 入射光场为 0sin jkx Ae ，则物平面的透射场为： 0000 00 sinsin 2()2() sinsin 0000 11 (,)() 222 jxfjxf jkxjkx A UxyAet xeee 其频谱为： 000 0 sin1sin (,)F (,)(), 22 1sin (), 2 xyxyxy xy A GffUfffff fff 由此可见，当光波以角倾斜入射，物频谱沿fx轴整体 平移了 的距离。 sin （2） 物的空间频谱仅包含3个频谱分量，其中每一频 谱分量代表某一特定方向的平面波，如果只让一个频 谱分量通过系统，像面是不会有强度变化的。欲使像 面有强度变化，至少要两个频谱分量通过系统。选择 最低的两个频谱分量使其在系统通频带内，角才能 取尽量大的值。图示系统，透镜能通过的最高频率 为 。因此，要求 0 2 l d 0 0 00 sin 2 sin 22 l d ll f dd 即 0 00 sin 22 ll f dd 所以 max 0 arcsin()arcsin() 24 ll df （3）当=max时，只有两个低频分量通过，像的频谱 为： 00 sin1sin (,) (,)(), 22 xyxyxy A Gfffffff 像面复振幅分布： 0 21 0 1 ( ,)F (,)exp( 2)1 242 i jf x iiixyi Al U x yGffjxe f 强度分布： 2 2 0 5 ( ,)cos(2) 44 iiiii A I x yUf x 当=0时，因d0=di=2f，所以像面光场分布和物光 场分布相同，故像面光强分布为： 2 2 000 31 ( , )1cos(2)2cos(2)cos(4) 2422 iiii AA I x yf xf xf x 对比可发现，当=max时的条纹对比度较差，且没有 倍频成分。 9. 一张全息图用氩离子激光器发出的波长为488nm的 激光记录，而用氦氖激光器的波长为632.8nm的光重建。 （1）zp=，zr=，z0=10cm，两个孪生像沿轴向的像距 是多少？两个像的横向放大率和轴向放大率是多少？ （2）zp=，zr=2z0，z0=10cm，两个孪生像沿轴向的像 距是多少？两个像的横向放大率和轴向放大率是多 少？ 解： （1）根据全息图物像关系公式 1 0 111 () i pR z zzz 1 00 000 1 1 iii Rp xyzzz M xyzzz 2 0 i zM z 代入相应的数据可得 7.7, 1, 0.77 i zcmM （2） 将数据代入全息图物像关系公式可得 15.4, 2, 3.08 i zcmM 10. 一张全息图，记录和重建像的波长同为。假设 z00，证明当zp=zr时，得到一个横向放大率为1的虚 像；而当zp=-zr时，得到一个横向放大率为1的实像。 在每种情况下，其孪生像的横向放大率为多少？ 证明： 依题意=1，根据公式 1 0 111 () i pR z zzz 1 00 000 1 1 iii Rp xyzzz M xyzzz 当zp=zr时： 0 0 0 2 r ii r z z zzz zz 或 0 1 2 r r z MM zz 或 对第一个像，zi=z00，像和物在全息片的同一侧，M= 1，即像为横向放大率为1的虚像，其孪生像为第二个 像，横向放大率就是 0 2 r r z M zz 当zp=-zr时： 0 0 0 2 r ii r z z zzz zz 或 0 1 2 r r z MM zz 或 对第二个像，zi=-z00，像在全息图的右侧，为实像， 横向放大率为1。它的孪生像为第一个像，横向放大 率为 0 2 r r z M zz 11. 用下式证明在不存在波长失配的情况下，当物 光波和参考光波成900角时，体光栅的角度选择性达 到极大值。 0 cos() 2 B K n 证明： 不存在波长失配时，失配参数 cos() B K 光栅矢量的模K为： 00 44 2 sinsinsin 222 rr KKk 为记录形成体光栅时参考光和物光波矢间的夹角。 布拉格条件： 4sin 2sinsin sin 2 K 即 2 是入射波矢与光栅平面的夹角，由图可知 B 失配参数： 2 cos()sin B K 因此，当记录时物光和参考光的夹角=900时，体光栅 的角度选择性达到极大值。 12. 一个振幅透过率为 的光栅，放在标准的4f相干光处理系统的输入平面上。 定出一个能够完全消除输出强度中空间频率为f0的空 间频率分量的纯相位型的空间滤波器的传递函数（作 为fx的函数）。假设用单色平面波照明，并忽略透镜 有限孔径的影响。 0 1 ( , )1cos(2) 2 A tx yf x 解： 假设纯相位型的空间滤波器的传递函数为 () () x jf x H fe 滤波后4f系统像面上的光场分布为： ()11 00 111 (,)(,)(,) 222 x jf iAxyxyxy UFF tHFffffffffe 00 ()()1(0) 00 111 (,)(,)(,) 244 jfjfj xyxyxy Fffefffefffe 0000 ()2()2(0) 111 244 jfjf xjfjf xj eeeee 光强为： 2 0000 000 311 cos ()(0)2cos ()(0)2 844 1 cos ()()4 8 ii IUff xff x fff x 其中只有第二和第三项的空间频率为f0，要消除 这两项，需满足： 0000 ()(0)2 ()(0)2ff xff x 即 00 ()()2 (0)ff 也就是设计的纯位相型滤波器，只要在fx=0、f0、-f0 三个点处满足上述关系，就可实现在像面上消除空间 频率为f0的部分。 我们可以使 00 ()() 2 (0)0 ff - 13. 用VanderLugt方法合成一个频率平面滤波器，如下 图(a)所示，一个振幅透过率为s(x,y)的“信号”透明 片紧贴着放在一个会聚透镜的前面，用照相底片记录后 焦面上的强度，并使显影后底片的振幅透过率正比于曝 光量。把这样制得的透明片放在下图(b)所示的系统中， 假定在下述每种情况下考查输出平面的适当部位，问输 入平面和第一个透镜之间的距离d应为多少，才能综合 处： （1） 脉冲响应为s(x,y)的滤波器？ （2） 脉冲响应为s*(x,y)的“匹配”滤波器？ S f( , )s x y ( )a ( )b 1 L 2 L 输入平面 dfff 输出平面 透明片 解： 在记录时，胶片上的合光场为 222222 (,)(,)(,) ro U xyUxyUxy 22 22 2 22 22 2 () 22 0 () 22 022 1 F ( , ) 1 (,) k jxy jyf k jxy jyf r ees x y f r eeS xy f sin 在线性记录条件下，经显影、定影后的胶 片的振幅透过率为： 2 2222 (,)(,) A txyU xy 2222 2222 22 ()() 2 222*22 00 0 22 1 kk jxyjxy jyjyff rr rSeeSeeS fff 在图(b)所示4f系统中，以点光源(x1,y1)作 为输入，在透镜L1后焦面形成的光场分布为： 22 22 (1)() 2 22 1 (,) kd jxy ff l U xye f 则透过滤波器的光场分布为： 2222 2222 2 22 22 2 (1)()() 2 2222 0 220 22 () 2*2 0 1 (,) kdk jxyjxy jyfff fl A k jxy jyf r UxyU terSeeS fff r eeS f （1）要合成出脉冲响应为s(x,y)的滤波器，只需使 上式中的第三项分离出来且前面的二次位相因子为0 即可，即 2222 2222 (1)()()0 22 kdk xyxy fff 因此 2df 这种情况下4f系统的输出： 3333 (,)(,) i U xyCs xf y （2） 同（1），只需第四项分离出来且前面的二 次位相因子为0即可，即 2222 2222 (1)()()0 22 kdk xyxy fff 因此 0d 这种情况下4f系统的输出 3333 (,)(,) i U xyCs xf y 14. 振幅透过率为h(x,y)和g(x,y)的两张输入透明片放 在一个会聚透镜之前，其中心位于坐标(x=0,y=Y/2)和 (x=0,y=-Y/2)上，如图所示，把透镜后焦面上的强度分 布记录下来，由此制得一张=2的正透明片。把显影、 定影后的正透明片放在同一透镜前，再次进行变换。试 证明透镜的后焦面上的光场振幅含有h和g的互相关，并 说明在什么条件下，互相关项可以从其他输出分量中分 离出来。 解： 输入函数可写成 1111111 ( ,)( ,)( ,) 22 YY U x yh x yg x y 透镜L2后焦面的光场分布： 22 2222 222 11 (,)(,)(,) YY jyjy ff xyxy UxyHeGe ffffff 记录介质上的光强分布为: 2 2 22 * 2222 2222 22 2 * 2222 2 * 2222 1 (,)(,)(,) (,)(,) (,) (,) Y jy f Y jy f xyxy I xyU UHG fffff xyxy HGe ffff xyxy HGe ffff 依题意，经显影定影后的胶片的振幅透过率正 比于它接收的光强： 22 (,) A txyI 将该透明片放置于透镜之前，经傅里叶变化后， 透镜后焦面的光场分布为： * 33333333333 * 333333 * 333333 (,) (,)(,)(,)(,) (,)(,)(,) (,)(,)(,) A Ux yF th x yhxyg x ygxy h x ygxyx yY hxyg x yx yY 设Wh 表示 h 在y3方向的宽度，Wg表示 g在y3方 向 的宽度，上式各项在x3Oy3平面的位置如图所示： 上式后两项以卷积的形式表示h和g的互相关，要使 该两项能够分离出来，由图示几何关系可知，必须使： max, 22 g h hg W W YW W 15. 在照相时，若相片的模糊只是由于物体在曝光 过程中的匀速直线运动造成的，运动的结果使像点 在底片上的位移为0.5mm。试写出造成模糊的点扩展 函数h(x,y)；如果要对该照片进行消模糊处理，试 写出逆滤波器的透过率函数。 解： 由于物体做匀速运动，一个点便模糊成了一条线。 依题意，用点光源照明时，在物体运动的方向上（设为 x），像变成了一个长度为0.5mm的线，因此点扩散函数 可写成（归一化条件下）： 11 ( , )() ( )() ( ) 220.50.5 xx h x yrectyrecty 而相应的传递函数为： (,)F ( , )sinc(0.5) xyx H ffh x yf 要对该相片进行消模糊，则可取逆滤波器的滤波 函数为： 11 (,) (,)sinc(0.5) ivxy xyx Hff H fff 16. 设某滤波器的滤波函数为H(fx)=afx，将其放在4 f系统的频谱面上。试证明：这时在像平面上将得到 物平面上物函数的微分。 证明： 设物函数为g(x)，其在4f系统滤波平面上的频 谱分布为： ()F ( ) x G fg x 通过滤波器后的场分布为： ()() ()() xxxxx U fH f G faf G f 系统像面上的场分布为： 2 ( )F ()() x jf x ixxxx g xU faf G f edf 2 d () 2d x jf x xx a G f edf jx d ( ) 2d ag x j x 即在像平面上显现的是物函数分布的微分。 17. 如图所示为一光学成像系统，S为点光源，输入 函数为g(x1,y1)，放置在系统的P1平面，振幅透过率 为H（x2,y2）的滤波器放置在P2平面上。试写出透镜 L1前的光场分布Ul1(x1,y1)，P1平面后的光场分布Up1 (x1,y1)，透镜L2前的光场分布Ul2(x2,y2)，P2平面后 的光场分布Up2(x2,y2), 及输出面P3平面上的光场分 布Up3(x3,y3)。 2 f2 f2 f 1 L 2 L 1 P 2 P 3 P S 解： 点光源发出的发散球面波到达L1前，其分布为： 22 11111 ( ,)exp() 4 L k Ux yjxy f 焦距为f的透镜的位相变换作用为 ， 22 11 exp() 2 k jxy f 因此P1平面后的光场分布为： 22 1111111111 22 1111 ( ,)( ,)exp() ( ,) 2 exp() ( ,) 4 PL k Ux yUx yjxyg x y f k jxyg x y f 根据菲涅尔衍射公式，光从P1平面传播到透镜L2 前的振幅分布为： 2 22 222111212111 (,)( ,)exp()() d d 24 jkf LP ek UxyUx yjxxyyx y jff 22 22 22111111 exp()( ,)exp2 ()d d 422 xyk Cjxyg x yjxyx y fff 经过透镜L2的位相变换，光穿过滤波器H后，在 P2平面后的振幅分布为： 22 2222222222 (,)(,)exp()(,) 2 PL k UxyUxyjxyH xy f 22 22 2222111111 exp()(,)( ,)exp2 ()d d 422 xyk CjxyH xyg x yjxyx y fff 22 222222 exp()(,) (,) 4 k CjxyH xy G xy f 22 2211111111 (,)F ( ,)( ,)exp2 ()d d 22 xy G xyg x yg x yjxyx y ff 再次根据菲涅尔衍射公式，光从P2平面传播到 P3平面的振幅分布为： 2 22 322222323222 (,)(,)exp()() d d 24 jkf PP ek UxyUxyjxxyyxy jff 2222 22 22 33 3322 2 22222222 exp()exp2 ()exp() 4 exp( 422 (,) (,)d d ) 4 xyk jxy k jxy f k jxy fff C H xy G xyx f yjxy 222 33 332222 exp()exp2 ()d d 422 xyk CjxyHGjxyxy fff 222 33 222 333333 exp()F 4 exp() (,)(,) 4 k CjxyHG f k Cjxyhxygxy f pq i y i x S 0 x 0 y y x f 18