《误差椭圆》PPT课件

介绍点位位差、误差曲线、误差椭圆和相对误差椭圆的概念，误差曲线与误差椭圆的关系，误差椭圆三要素和点位在任意方向上位差的计算方法。,第十章误差椭圆,10-1点位误差概述10-2误差曲线10-3误差椭圆和相对误差椭圆,本章主要内容,10-1点位误差概述,一、点位误差概念及点位误差的计算,二、P点在任意方向上的位差,三、位差极值方向的确定,四、位差的极大值和极小值的计算,五、用E、F表示的任意方向上的位差,六、应用实例,P：P点真点位置,其坐标值为P：P点平差点位,其坐标值为P：P点的点位真误差,x、y：坐标真位差s：P点真位差在AP方向的投影，称为纵向误差。u：P点真位差在垂直于AP方向上的投影，称为横向误差。,10-1点位误差概述,1.点位真误差,一、点位误差概念及点位误差的计算,如图可得：,1.点位真误差,一、点位误差概念及点位误差的计算,10-1点位误差概述,由方差的定义式可得：,故有,2.点位方差及其计算,10-1点位误差概述,同理有：,一、点位误差概念及点位误差的计算,用点位方差衡量P点精度的缺陷：不能完善说明P点在任一个方向上的精度情况，不能确定P点在哪一个方向上的精度最好（最差）。,2.点位方差及其计算,10-1点位误差概述,上式说明点位方差的大小与坐标轴的方向无关,即与坐标系的选择无关。,一、点位误差概念及点位误差的计算,由图可得下列关系式:,二、P点在任意方向上的位差,10-1点位误差概述,由协方差传播律得:,或,上式即为求任意方位角方向上点位方差的计算公式。,二、P点在任意方向上的位差,10-1点位误差概述,由位差计算式可以看出,随着值的变化而改变，具有最大值和最小值。,10-1点位误差概述,三、位差极值方向的确定,为此，令一阶导数等于零，即,10-1点位误差概述,三、位差极值方向的确定,设位差的极值方向为,则有,即,将代入位差计算式得:,有几个极值方向？,0，极大值在第、象限，极小值方向在第、象限；0，极大值在第、象限，极小值方向在第、象限。,10-1点位误差概述,三、位差极值方向的确定,极值方向的判别方法:与同号为极大值，记为E；异号为极小值记为F，即：,用表示极大值方向、表示极小值方向；用E、F分别表示位差的极大值和极小值。则有,10-1点位误差概述,四、位差的极大值和极小值的计算,把代入位差计算式得,10-1点位误差概述,四、位差的极大值和极小值的计算,10-1点位误差概述,四、位差的极大值和极小值的计算,令,代入上式,得,与、有下面关系:,10-1点位误差概述,四、位差的极大值和极小值的计算,由图可知，任意方向在两个坐标系中的方位角有如下关系:,代入位差计算式得:,五、用E、F表示的任意方向上的位差,10-1点位误差概述,五、用E、F表示的任意方向上的位差,10-1点位误差概述,整理得:,五、用E、F表示的任意方向上的位差,10-1点位误差概述,例题1如图，在固定三角形内插入一点P，经过平差后求得P点坐标的协因数阵为:,单位权方差估值为,试求(1)位差的极值方向和,(2)位差的极大值E与极小值F,(3)P点在PM方向上的点位误差（已知）,(4)P点的点位方差。,10-1点位误差概述,六、应用实例,解:(1)计算极值方向,10-1点位误差概述,六、应用实例,因为，故,(2)求位差的极值,10-1点位误差概述,六、应用实例,(3)求P点在PM方向上的位差,10-1点位误差概述,六、应用实例,也可以利用E、F计算PM方向上的位差。此时，以极大值方向为坐标纵轴，PM的方向角为：,则,10-1点位误差概述,六、应用实例,(4)点位方差,也可用下式计算,即,10-1点位误差概述,六、应用实例,解:PA边长的中误差,便是PA方向上的位差,则有:,10-1点位误差概述,边长相对中误差为:,10-1点位误差概述,要计算PA边的方位误差,首先要计算PA边的横向误差,即垂直于PA边方向上的P点位差,垂直方向的方位角为,PA边的横向误差为:,由,得,10-1点位误差概述,此外，亦可验证：,例题3如图,已知,为确定P点的位置，作如下观测:,试确定P点位差的极大值及其方向。,10-1点位误差概述,六、应用实例,解法一:由P点的坐标差计算及E,由图，可列函数式:,10-1点位误差概述,六、应用实例,求全微分，dx、dy、dS以mm为单位，得,由上式按协方差传播律得:,10-1点位误差概述,六、应用实例,由,解得,或,10-1点位误差概述,六、应用实例,因为，故极值方向为:,10-1点位误差概述,解法二:以AP方向为纵轴x建坐标系,所建坐标系相当于xoy坐标系顺时针旋转方位角而得到。,10-1点位误差概述,由,P点横坐标的方差，就是P点横向方差,即,解得：,因为,故在坐标系中,P点位差极大值方向：,把化为xoy坐标系中的方位角，得,位差极大值为:,10-1点位误差概述,10-2误差曲线,一、有关公式复习,二、误差曲线的定义,三、误差曲线的作图方法与步骤,四、误差曲线的用途,一、有关公式复习,10-2误差曲线,一、有关公式复习,10-2误差曲线,以和为极坐标的点的轨迹所构成的封闭曲线称为误差曲线,或称为精度曲线。,二、误差曲线的定义,10-2误差曲线,三、误差曲线的作图方法与步骤,1、方法,以O为圆心,E、F为半径画圆弧,以xe为起始方向,过原点O作一系列角的直线。,直线与圆弧的交点分别投影到xe、ye轴上,得到交点和。,在方向的直线上，自O点量取线段,得a点,便是误差曲线上的点。,10-2误差曲线,10-2误差曲线,2、步骤,用小比例尺绘出三角点点位图；,以待定点为原点,建立x、y坐标轴；,根据E值,确定E(xe)、F(ye)方向；,以xe轴为起始方向,将不同的值及其相应的向径,按同一比较尺逐一展绘上去；,平滑地依次将各点联结起来就得到了待定点的误差曲线图。,以大比例尺在xe、ye轴上取,(1)待定点任一方向的位差。例如:,(2)点位中误差按任意两个互相垂直方向上的位差求其值。例如,四、误差曲线的用途,10-2误差曲线,四、误差曲线的用途,10-2误差曲线,(3)待定点P至任一三角点边长的中误差(即该边的纵向误差)。例如:PA边边长SPA中误差为:,(4)待定点P至任一三角点之方位角的中误差。,例如：PA边的方位角TPA的中误差为:,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,一、误差椭圆方程,二、误差椭圆与误差曲线的关系,三、相对误差椭圆,四、相对误差椭圆,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,一、误差椭圆方程,误差曲线作图不易，而且作出来的曲线也不是一种典型曲线，因此，给使用者带来很大不便，降低了它的实用价值。然而，它的形状很近于以E、F为长短半轴的椭圆。在以xe、ye为坐标轴的坐标系中，该椭圆的方程为:,误差椭圆的三个参数E、E、F称为误差椭圆三要素。,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,二、误差椭圆与误差曲线的关系,如图，由椭圆圆心向方向引一射线，垂直于方向上作椭圆的切线,则垂足与原点的连线长度就是方向上的位差。,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,故，P是误差椭圆上的一点,以O为圆心，E、F为半径，画两圆弧,过O作一射线，交于点，交于点。,分别过、作ye轴及xe轴的平行线，两线相交得P点。则P点坐标为：,由于,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,自O作任意方向射线，垂直于该射线作误差椭圆的切线，切椭圆于P1，垂足为D；过P1点作y轴平行线，交圆弧于，交x轴于a；过a作向射线的垂线，垂足为C；,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,下面证明：,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,由图，P1点处的斜率为：,由,复合求导，得,展开即得：,从而：,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,三、相对误差椭圆,设有两个待定点，坐标平差值的协因数阵为:,两待定点平差后的相对位置可通过坐标差来表示，即,或表示为:,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,三、相对误差椭圆,据上式，按协因数传播定律得:,计算点间相对误差椭圆三个参数的公式为:,可用绘制误差椭圆的方法画出相对误差椭圆。相对误差椭圆通常以待定点连线的中点为中心。根据相对误差椭圆，便可图解出所需要的任意方向上的位差大小。,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,三、相对误差椭圆,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,试作出P1、P2点误差椭圆及P1、P2点间的相对误差椭圆。,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,解:(1)计算P1点的误差椭圆元素,由,得,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,(2)计算P2点的误差椭圆元素,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,由,得,(3)计算P1与P2点间的相对误差椭圆元素,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,10-3误差椭圆和相对误差椭圆,(4)绘制误差椭圆和相对误差椭圆,以1:2万比例尺，将已