立体几何中二面角的求法(教师版

高二文科数学培优： 立体几何中二面角的求法编写：林洪兵2016-1-6一、定义法： 例1:如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交于O，连EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EOBD，A1OBD，故EOA1为所求二面角的平面角。变式1：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为 .分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tanCOC1=。将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的余弦值为 .在图1中，A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cosA1OC1=二、三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.A图3PBl此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面内一点P作PA于A，作ABl于B，连接PB，由三垂线定理得PBl，则PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的RtPAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？例2 如图3，设三棱锥V-ABC中，VA底面ABC，ABBC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。分析与解 本题应用垂线法作出二面角的平面角，因VBC为等腰三角形，E为VC中点，故BEVC，又因DEVC，故VC平面BED，所以BDVC，又VA平面ABC，故VABD，从而BD平面VAC。图4B1AA1BlEF例3(2006年陕西试题)如图4，平面平面，=l，A，B，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：()略；()二面角A1ABB1的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1EAB1于AB1于E，则可证A1E平面AB1B.过E作EFAB交AB于F，连接A1F，则得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，则在RtA1EF中，sinA1FE=.三、垂面法：例3 如图6，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点。（1）求证：A1、E、C、F四点共面；（2）求二面角A1-EC-D的正切值的大小。分析与证明 （1）要证A1、E、C、F四点共面，可证：A、F/EC，取DC中点H，连AH、FH，则AHEC，又FHA1A。故A1F/AH，即A1F/EC，从而A、E、C、F四点共面。（2）要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本题可用三垂线法，因FH底面ABCD于H，过H作HMEC于M，连FM，则由三垂线定理知FMEC。 所以HMF为所求二面角A1-EC-D的平面角。 例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.分析与略解：如图5，分别作PA于A，PB于B，则易知l平面PAB，设l平面PAB=C，连接PC，则lPC.分别在RtPAC、RtPBC中，PC=，PA=4，PB=3，则AC=，BC=.因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角的大小为.分别在PAB、ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos=PA2+PB2-2PAPBcos()，则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o.四、延伸法例4. 如图10，设正三棱柱ABC-ABC各棱长均为，D为CC1中点，求平面ABD与平面ABC所成二面角的度数。分析与解 由图，平面ABD与平面ABC只出现一个交点，故延长AD交AC延长线于F点，连BF，则BF为所求二面角的棱。因CD=CD，则AC=CF=BC=AC，所以ABF=90，取BF中点E，连DE，则CEBF，又DC平面ABF，即DEBF，从而DEC为所求二面角的平面角。说明 本题也可用射影法求二面角的度数。五、射影法例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面