立体几何知识梳理

空间直线与平面1.平面及其相关性质平面具有“平”的特征，无厚度，无边界，在空间延伸至无限；平面可以用大写的英文字母或小写的希腊字母表示；空间的直线和平面都可以看作点的集合，点与它们的关系可以用集合的语言表示；例如，点A在直线l上，或直线l经过点A，记作；点B不在直线l上，记作；点A在平面上，或平面经过点A，记作；点B不在平面上，记作；如果直线l上的所有点都在平面上，那么称直线l在平面上（或平面经过直线l)，记作；公理1如果直线l上有两个点在平面上，那么直线l在平面上；公理1用集合语言表述如下：若，且，则；公理2如果不同的两个平面有一个公共点A，那么的交集是过点A的直线；公理2用集合语言表述如下：若存在，则，且；公理3不在同一直线上的三点确定一个平面；推论1一条直线和直线外的一点确定一个平面；推论2两条相交的直线确定一个平面；推论3两条平行的直线确定一个平面；2.空间直线与直线的位置关系公理4平行于同一直线的两条直线相互平行；等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；在同一平面中，两条直线的位置关系包括相交和平行；如果空间的两条直线既不平行，也不相交，这时不可能存在一个平面，使它既经过直线，又经过直线，我们把不能置于同一平面的两条直线做异面直线；对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线和，我们把和所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角；当空间两直线所成的角为直角时，和垂直，记作丄；当和所成的角为零角时，和平行或重合；异面直线之间距离：设直线a与直线b是异面直线，当点M，N分别在a,b上，且直线MN既垂直于直线a，又垂直于直线b时，我们把直线叫做异面直线a,b的公垂线，垂足M，N之间的距离叫做异面直线a和b的距离；3.空间直线与平面的位置关系如果直线与平面只有一个公共点A，那么称直线与平面相交于点A，或称A是直线与平面的交点，记作如果直线与平面没有公共点，那么称直线与平面平行，记作或；直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；一般地，如果一条直线与平面上的任何直线都垂直，那么直线与平面垂直，记作丄，直线叫做平面的垂线，与的交点叫做垂足；直线与平面垂直的判定定理如果直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与平面垂直；推论如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；直线与平面垂直的性质定理如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线；推论如果两条直线同时垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；点到平面的距离：设M是平面外一点，过点M作平面的垂线，垂足为N，我们把点M到垂足N之间的距离叫做点M和平面的距离；直线到平面的距离：设直线平行于平面，在直线上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做直线和平面的距离；当直线与平面相交且不垂直时，叫做直线与平面斜交，直线叫做平面的斜线；设直线与平面斜交于点M，过上任意点A，作平面的垂线，垂足为，我们把点叫做点A在平面上的射影，直线OM叫做直线在平面上的射影，并规定直线与其在平面上的射影OM所成的锐角叫做直线与平面所成的角；当直线与平面垂直时，它们所成的角为90；当直线与平面平行或直线在平面上时，它们所成的角为0；最小角定理直线和平面所成的角是这条直线和平面内任一直线所成的角中最小的角；三垂线定理在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么这条直线也和这条斜线垂直；三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也和这条斜线的射影垂直；4.空间平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系对于空间不同的两个平面，如果它们有公共点，即，那么称平面与平面相交；如果两个平面没有公共点，那么称平面与平面平行，记作平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；推论如果一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；推论垂直于同一条直线的两个平面平行；平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么得到的两条交线互相平行；推论若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面；平面到平面的距离：设平面平行于平面，在平面上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离；设两个平面相交于直线AB，AB将别分割成两个半平面，由的半平面及其交线AB所组成的空间图形叫做二面角，记作；交线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面；在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在平面和上作棱的垂线OM和OW，射线OM和ON所成的角叫做二面角的平面角；若射线OM和ON所成的角为90，则两个平面垂直，记作丄；平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；平面与平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；5.空间角与距离的计算（1）异面直线所成角异面直线所成角的范围；求异面直线所成的角，主要有两种方法：平移，将异面直线平移至相交，常用“作平行”和“取中点”的方法；补形，延长异面直线，或者将题中几何体进行添补，然后再平移至相交；（2）直线与平面所成角直线与平面所成角的范围；求直线与平面所成的角，主要有以下方法：定义法，根据直线与平面所成角的定义，找斜线及其射影的夹角；垂线法，过直线上某一点作平面的垂线；等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离；（3）二面角的平面角二面角的平面角的范围0。,180。求二面角的平面角，主要有以下方法：定义法，在两个半平面中分别作交线的垂线；垂线法，过一个平面上一点作另一个平面的垂线，再作交线的垂线；垂面法，找到一个与两个半平面均垂直的平面，截得的交线所形成的角；等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离；射影法，面积射影定理；（4）距离的计算直线到平面的距离，平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离；求点到平面的距离，主要有两种方法：垂线法，过点作平面的垂线，求垂线的长度；等体积法，通过几何体体积相等，求出高，即点到平面的距离；简单几何体1.多面体在数学中，我们把由平面多边形（或三角形）围成的封闭体叫做多面体；构成多面体的各平面多边形（或三角形）叫做多面体的面；其相邻多边形（或三角形）的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的交点叫做多面体的顶点；（1）棱柱如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫做棱柱；棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的侧面；棱柱的侧面都是平行四边形；不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱；两个底面间的距离叫做棱柱的高；底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面都是矩形，直棱柱的高与侧棱的长相等；底面是矩形的直棱柱叫做长方体，所有棱长都相等的长方体叫做正方体；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；（2）棱锥如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面体叫做棱锥；棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面，其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥侧面都是三角形；不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱；侧棱的公共点叫做棱锥的顶点；顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高；如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥；正棱锥的各条侧棱长相等，各个侧面都是全等的等腰三角形，正棱锥的高与其顶点到底面中心的距离相等；2.旋转体平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴；（1）圆柱如图，将矩形ABCD绕其一边AB所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；AB所在直线叫做圆柱的轴；线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；线段CD旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；CD叫做圆柱侧面的一条母线；圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做圆柱的高；根据圆柱的形成过程易知：圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；圆柱有两个相互平行的底面；（2）圆锥类似地，将直角三角形乂ABC（及其内部）绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；AB所在直线叫做圆锥的轴；点A叫做圆锥的顶点；直角边BC旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；斜边AC叫做圆锥侧面的一条母线；圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高；根据圆锥的形成过程易知：圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；每条母线与轴的夹角都相等；（3）球如图，将圆心为O的半圆绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球O；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，易知，点O到球面上任意点的距离都相等；把点O称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径；球面上联结两点的最短路径，该路径的长度就是球面上两点之间的距离；在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离；任意平面与球面的交线都是圆；我们规定，当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆；3. 面积与体积公式直柱体的表面积：（h,c分别为直柱体的高和底面周长)圆柱的表面积：(h,r分别为圆柱的高和底面半径）正锥体的表面积：（,c分别为斜高和底面周长)圆锥的表面积：（,r分别为母线长和底面半径)球的表面积公式：(r是球的半径)祖geng原理：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等；棱柱的体积：（h为棱柱的高）圆柱的体积：(h,r分别为圆柱的高和底面半径）等底等高的三棱锥的体积相等；棱锥的体积：（h为棱锥的高）圆锥的体积：(h,r分别为圆锥的高和底面半径）球的体积公式：(r是球的半径）4.直观图与斜二测画图法规定按如图所示的位置和夹角作三条轴分别表示前后方向、