《计量经济学复习》PPT课件

1,第一章导论,计量经济学的性质和经济数据,2,计量经济学“四大过程”,模型设计：理论假说理论模型计量模型,模型估计：数据估计方法,模型检验：经济统计计量,模型应用：预测制定政策,3,计量模型“四个要素”,Y=1+2X+u,3、方程式,4、随机扰动项,4,第二章简单回归模型,5,本章大纲,简单回归模型的定义普通最小二乘法的推导OLS的操作技巧测量单位和函数形式OLS估计量的期望值和方差过原点回归,6,术语注解,线性的含义：y和x之间并不一定存在线性关系，但是，只要通过转换可以使y的转换形式和x的转换形式存在相对于参数的线性关系，该模型即称为线性模型。,7,关于u的假定,我们假定总体中误差项u的平均值为零.E(u)=0(2.5)该假定是否具有很大的限制性呢?,8,关于u的假定,如果,E(u)=5.则y=(b0+5)+b1x+(u-5),从而,E(u)=E(u-5)=0.上述推导说明我们总可以通过调整常数项来实现误差项的均值为零,因此该假定的限制性不大.,9,条件期望零值假定,我们需要对u和x之间的关系做一个关键假定。理想状况是对x的了解并不增加对u的任何信息。换句话说，我们需要u和x完全不相关。,E(u|x)=E(u)。,10,条件期望零值假定,由于我们已经假定了E(u)=0，因此有E(u|x)=E(u)=0.(2.6)该假定是何含义？,11,条件期望零值假定,(2.6)说明总体回归函数应满足E(y|x)=b0+b1x.该函数是x的线性函数，y的分布以它为中心。,12,普通最小二乘法的推导,回归的基本思想是从样本去估计总体参数。,13,普通最小二乘法的推导,14,因此OLS估计出的斜率为,15,关于OLS的更多信息,OLS法是要找到一条直线，使残差平方和最小。残差是对误差项的估计，因此，它是拟合直线（样本回归函数）和样本点之间的距离。,16,OLS的代数性质,回归元（解释变量）和OLS残差之间的样本协方差为零OLS回归线总是通过样本的均值。,17,OLS的代数性质,我们可把每一次观测看作由被解释部分和未解释部分构成.预测值和残差在样本中是不相关的,18,证明SST=SSE+SSR,19,拟合优度,我们如何衡量样本回归线是否很好地拟合了样本数据呢?可以计算模型解释的总平方和的比例，并把它定义为回归的R-平方R2=SSE/SST=1SSR/SST,20,自然对数,21,假定SLR.1（关于参数是线性的）,在总体模型中，因变量y和自变量x和残差u的关系可写作y=b0+b1x+u,其中b0和b1分别是总体的截距参数和斜率参数,22,假定SLR.2(随机抽样):,假定我们从总体模型随机抽取容量为n的样本,(xi,yi):i=1,2,n,那么可以写出样本模型为：yi=b0+b1xi+ui,23,AssumptionsSLR.3andSLR.4,SLR.3,零条件期望：假定E(u|x)=0.那么在随机样本中我们有E(ui|xi)=0SLR.4(自变量中的样本变动):在样本中，自变量x并不等于一个不变常数。,24,定理2.1(OLS的无偏性),使用假定SLR.1到SLR.4，我们可以得到无论b0,和b1取什么值，它们的OLS估计量的期望值等于它们各自的真值。,25,无偏性总结,b1和b0的OLS估计量是无偏的无偏性的证明依赖于我们的四个假定-如果任何假定不成立，OLS未必是无偏的记住无偏性是对估计量的描述-对于一个给定的样本我们可能靠近也可能远离真实的参数值,26,OLS估计量的抽样方差,在一个附加假定下计算这个方差会容易的多，因此有假定SLR.5(同方差性):Var(u|x)=s2(Homoskedasticity),27,定理2.2(OLS估计量的抽样方差),在假定SLR.1到SLR.5下，我们有(2.57):,28,误差方差估计量(继续),29,第三章多元回归分析：估计,30,对多元回归的解释,31,简单回归估计与多元回归估计,32,拟合优度,33,拟合优度,如何判断样本拟合优劣?计算因变量总离差平方和(SST)中能由模型解释的比例,回归R-squaredR2=SSE/SST=1SSR/SST,34,拟合优度(cont),35,关于R2,随着解释变量的增加R2不会下降,通常会上升鉴于R2会随着解释变量的增加而上升，模型间仅仅基于R2的比较意义不大,36,无偏假定,线性总体模型关于参数线性:y=b0+b1x1+b2x2+bkxk+u随机抽样从总体中随机抽取容量为n的样本,(xi1,xi2,xik,yi):i=1,2,n,样本模型为yi=b0+b1xi1+b2xi2+bkxik+ui零条件均值E(u|x1,x2,xk)=0。无完全共线性任何字变量都不是常数,自变量之间不存在完全线性关系。,37,遗漏变量导致的偏差,38,遗漏变量导致的偏差(cont),39,OLS估计量的方差,估计量的抽样分布以真实值为中心希望知道这一分布的分散程度如何如果再附加一条假定，分析估计量的方差将更容易。所以假定Var(u|x1,x2,xk)=s2(Homoskedasticity),40,OLS估计量的方差(cont),以x表示(x1,x2,xk)假定Var(u|x)=s2也意味着Var(y|x)=s2个无偏假定再加上同方差假定，就是Gauss-Markov假定,41,OLS估计量的方差(cont),42,对误差方差（ErrorVariance）的估计,无法知道误差的方差,s2,因为无法观测到,ui能够观测到的是残差,i可以利用残差来估计误差的方差,43,误差方差的估计(cont),df=n(k+1）=nk1df(自由度)(样本容量)(估计参数的个数),44,Gauss-Markov定理,在个Gauss-Markov假定前提下，OLS估计量是最佳线性无便估计（）BestLinearUnbiasedEstimator所以,假定前提成立,放心使用OLS,45,第四章多元回归分析:推断,y=b0+b1x1+b2x2+.bkxk+u,46,经典线性模型假定(CLM),截至目前,我们知道,在Gauss-Markov假定前提下,OLS是BLUE,为了进行经典假设检验,我们需要增加其他假定(在Gauss-Markov假定之外)假定u独立于x1,x2,xk而且u服从均值为零,方差为s2的正态分布:uNormal(0,s2),47,CLM假定(cont),在CLM假定下,OLS不仅仅是BLUE,而且是具有最小方差的无偏估计量可以把关于总体的CLM假定总结如下y|xNormal(b0+b1x1+bkxk,s2)虽然可以暂时作出正态性假定,很显然有时实际并非如此大样本可以使我们无须为正态假定烦恼,48,t检验,49,t检验(cont),知道了估计量标准化以后的抽样分布,就可以进行假设检验从零假设(anullhypothesis)开始例如,H0:bj=0如果接受零假设,也就意味着认为:控制住其他的x,xj对y没有影响.,50,t检验(cont),51,yi=b0+b1xi1+bkxik+uiH0:bj=0H1:bj0,c,0,a,(1-a),单侧对立假设(cont),无法拒绝,拒绝,52,c,0,a/2,(1-a),-c,a/2,双侧对立假设,拒绝,拒绝,无法拒绝,53,对于H0:bj=0的总结,除非特意声明，否则对立假设是双侧假设如果拒绝了零假设,通常说“xj在a%水平上统计显著”如果无法拒绝零假设,我们通常会说“xj在a%水平上统计不显著”,54,其他假设的检验,t检验的更一般的形式可能会是希望检验类似于H0:bj=aj这样的假设这种问题中,恰当的t统计量是,55,置信区间,使用经典统计检验的另一种方法是使用双侧检验中的临界值构造置信区间(1-a)%置信区间的定义是,56,计算t检验的p值(p-value),可以用另一种方法取代经典检验方法“零假设能够被拒绝的最小显著性水平是多少?”从而,计算t统计量,然后查表看它对应于t分布中的分位点这就是p-valuep-value就是,如果零假设成立,我们能够得到前述计算出的t统计量的概率,57,多重线性约束检验,到目前为止所做的检验只包含一个线性约束,(例如:b1=0或者b1=b2)但有时可能可能需要对参数的多重约束进行联合检验一个典型的例子是检验“排除性约束”希望知道一组参数是否都等于零,58,对排除性约束的检验,如果零假设类似于H0:bk-q+1=0,.,bk=0对立假设是H1:H0不正确不能单独检查各个t统计量,因为我们想知道这q个参数是否在一个给定的显著性水平上联合显著很可能在这一显著水平上任何一个都不显著,59,对排除性约束的检验(cont),进行这种检验需要估计包含所有变量x的不受约束模型(“unrestrictedmodel”)以及不包含xk-q+1,xk的受约束模型从直觉上看,我们希望知道SSR的变化是不是足以保证把xk-q+1,xk包括在模型,60,F统计量,F总是正数,这是因为受约束模型中的SSR不会比不受约束模型中的SSR小实际上F统计量可以衡量从不受约束模型变化到受约束模型时SSR的相对变化q=约束个数,或者dfrdfurnk1=dfur,61,F统计量(cont),为了确定从不受约束模型变化为受约束模型时SSR的变化是否“足够大”从而能够拒绝排除,需要知道F统计量的样本分布FFq,n-k-1,其中q是分子自由度,nk1是分母自由度,62,0,c,a,(1-a),f(F),F,F统计量(cont),拒绝,无法拒绝,如果Fc,在a显著水平上拒绝H0,63,F统计量的R2形式,由于SSR可能很大,计算麻烦,可以使用另外一种方便的替代方法由于SSR=SST(1R2),带入SSRr和SSRur中,于是,64,模型总体显著性,一种特殊的排除性约束是检验H0:b1=b2=bk=0在一个只含有截距的模型中R2为0,F统计量成了,65,一般线性约束,F统计量的基本形式适合于任何线性约束检验首先估计不受约束模型,然后估计受约束模型每次估计时都记录下SSR施加约束可能需要技巧很可能需要重新定义变量,66,回归结果的报告,67,回归结果的报告(cont),68,第五章多元回归分析：OLS的渐近性,略,69,第六章多元回归分析:其他问题,y=b0+b1x1+b2x2+.bkxk+u,70,本章大纲,数据的测度单位换算对OLS统计量的影响对函数形式的进一步讨论拟合优度和回归元选择的进一步探讨预测和残差分析,71,要点,重新定义变量的影响估计系数R平方t统计量函数形式对数函数形式含二次式的模型含交叉项的模型,72,函数形式,OLS也可以用在x和y不是严格线性的情况，通过使用非线性方程，使得关于参数仍为线性。可以取x，y（一个或全部）的自然对数,可以用x的平方形式可以用x的交叉项,73,对数模型的解释,如果模型是log(y)=b0+b1log(x)+ub1是y对于x的弹性如果模型是log(y)=b0+b1x+ub1近似是，给定一单位x的改变，y的百分比变化，常被称为半弹性。,74,为什么使用对数模型？,取对数后变量的斜率系数，不随变量测度单位改变。如果回归元和回归子都取对数形式，斜率系数给出对弹性的一个直接估计。对于y0的模型，条件分布经常偏斜或存在异方差，而ln(y)就小多了，所以ln(y)的分布窄多了，限制了异常（或极端）观测值(outliers)的影响。,75,一些经验法则,什么类型的变量经常用对数形式？肯定为正的钱数：工资，薪水，企业销售额和企业市值。非常大的变量：如人口，雇员总数和学校注册人数等。,76,一些经验法则,什么类型的变量经常用水平值形式？用年测量的变量：如教育年限，工作经历，任期年限和年龄可以以水平值或对数形式出现的变量：比例或百分比变量：失业率，养老保险金参与率等。,77,对数形式的限制,一个变量取零或负值，则不能使用对数。如果y非负但可以取零，则有时使用log(1+y)。当数据并非多数为零时，使用log(1+y)估计，并且假定变量为log(y)，解释所得的估计值，是可以接受的。,78,慎重使用对数形式,注意，当y取对数形式时，更难以预测原变量的值，因为原模型允许我们预测log(y)而不是y。,79,含二次式的模型,对于形式为y=b0+b1x+b2x2+u的模型，我们不能单独将b1解释为关于x，y变化的度量，我们需要将b2也考虑进来，因为,80,含二次式的模型,如果感兴趣的是，给定x的初始值和变动，预测y的变化，那么可以直接使用（1）。一般来说，我们可以使用x的平均值，中值，或上下四分位数来预测y，取决于我们感兴趣的问题。,81,对含二次式模型的进一步讨论,假如x的系数为正，x2的系数为负。那么，y首先随x上升而上升，但最终转向随x上升而下降。,82,对含二次式模型的进一步讨论,假如x的系数为负，x2的系数为正。那么，y首先随x上升而下降，但最终转向随x上升而上升。,83,交叉项,对于形式为y=b0+b1x1+b2x2+b3x1x2+u的模型，我们不能单独将b1解释为关于x1，y变化的度量，我们需要将b3也考虑进来，因为,84,第七章虚拟变量,85,问题的引出,在前面讨论的回归模型中，所遇的变量均为定量变量（可直接测度、数值性），例如GDP，工资，收入、受教育年数，销售额等。在实际建模中，一些定性变量具有不可忽视的重要影响。例如，研究某个企业的销售水平，产业属性（制造业、零售业）、所有制（私营、非私营）、地理位置（东、中、西部）、管理者的素质、不同的收入水平等是值得考虑的重要影响因素，但这些因素共同的特征是定性描述的。在同时考虑定量和定性因素的条件下，依据现有的回归分析知识，如何对非定量因素进行回归分析？采用“虚拟变量”对定性变量进行量化一种思路。,86,定量因素：可直接测度、数值性的因素。定性因素：属性因素，表征某种属性存在与否的非数值性的因素。是否可将这些定性因素进行量化，以达到定性因素能与定量因素有着相同作用之目的。,定性与定量,87,虚拟变量,虚拟变量通常取值为1或0（其他取值方式？）例如:male(=1如果为男性,0其他),south(=1如果在南方,0其他),etc.或者称为二值变量（abinaryvariable）WAGE1female,married,nonwhite,south,etc.,88,注意dummyvariabletrap,如果既包含male，也包含femalemale+female=1多重共线性EAST、MIDDLE、WEST？,89,虚拟变量与其他变量的交互作用,也可以考虑虚拟变量（d）与其他连续型变量（x）的交叉乘积y=b0+d1d+b1x+d2d*x+u如果d=0,y=b0+b1x+u如果d=1,y=(b0+d1)+(b1+d2)x+u可以解释为斜率的变化,90,y,x,y=b0+b1x,y=(b0+d0)+(b1+d1)x,例如：d00、d10,d=1,d=0,91,第八章异方差,92,本章提要,OLS中异方差的影响OLS估计后“对异方差稳健”的统计推断检验异方差加权最小二乘估计,93,什么是异方差,同方差假定意味着条件于解释变量，不可观测误差的方差为常数如果u的方差随x变化，那么误差是异方差的。例子：估计教育回报并且能力不可观测，认为能力的方差随教育水平变化。,94,当存在异方差时,OLS无偏且一致R平方和调整后的R平方仍可以很好地度量拟合优度。它们是对总体R平方1Var(u)/Var(y)的估计，其中的方差是总体中的“非条件”方差。无论Var(u|x)=Var(y|x)是否依赖于x，它们都可以一致地估计总体R平方。,95,为何关心异方差？,如果存在异方差，那么估计值的标准差是有偏的。如果标准差有偏，我们就不能应用通常的t统计量或F统计量来进行统计推断。,96,怎么办？,计量经济学家已经知道如何调整标准差，t，F，LM量，使得它们当未知形式的异方差存在时仍然有效。White（1980）指出，在存在异方差时，方差也是可以估计的。,97,异方差存在时的方差,98,异方差存在时的方差,99,异方差存在时的方差,100,异方差存在时的方差,开平方被称为对异方差稳健的标准差，或White标准差，或Huber标准差，或Eicker标准差,101,检验异方差,虽然我们有办法计算HSK稳健的t,F和LM统计量，我们仍然有理由去寻找可以识别异方差的简单检验。,102,检验异方差,理由1：除非有证据显示异方差存在，我们仍会偏好于常规OLS的标准差及检验统计量。理由2：如果异方差存在，OLS不再是BLUE，那么就有可能得到比OLS更好的估计量。,103,用B-P检验检验异方差,本质上，我们想检验H0:Var(u|x1,x2,xk)=s2这等价于检验H0:E(u2|x1,x2,xk)=E(u2)=s2如果我们假设u2和xj之间具有线性关系，则可以通过一组线性约束来完成检验。所以,对于u2=d0+d1x1+dkxk+v这意味着检验H0:d1=d2=dk=0,104,用B-P检验检验异方差,在零假设下，通常可以假定误差v与x1,xk独立那么，如果将u2视为被解释变量，检验全部解释变量显著性的F或LM统计量就可以用来检验异方差。由于u2在样本中不是正态分布，这些统计量只在渐近的意义下适用。,105,用B-P检验检验异方差,不可观测的误差可以通过OLS残差进行估计。将残差平方对所有的x回归之后，可以通过R2构造F或LM检验。,106,用B-P检验检验异方差,107,用B-P检验检验异方差,108,用B-P检验检验异方差,109,用B-P检验检验异方差,如果我们怀疑HSK仅依赖与某些特定的解释变量，我们可以做一些调整：将第一步的残差只对那些解释变量回归，并进行适当的F或LM检验。,110,用White检验检验异方差,B-P检验可以识别任意线性形式的异方差White检验通过加入x的平方项和交叉项引入了一定的非线性。仍然是用F和LM检验来检验xj,xj2,xjxh是否联合显著,111,用White检验检验异方差,这个办法很快就会显出其烦琐之处。例如，如果我们有三个解释变量x1,x2,x3那么White检验有9个约束，三个线性项，三个平方项，三个交叉项。在小样本情形，自由度将会随着解释变量数目增加而迅速减少。,112,White检验的变形,考虑到OLS的预测值是所有x的函数。因此，2是平方项和交叉项的函数。和2可以用来替代所有的xj,xj2,xjxh,113,White检验的变形,将残差平方对和2回归，用R2来构建F或LM统计量现在只需要检验两个约束,114,对HSK检验的最后评价,即便真实的情况并无异方差，HSK检验可能由于重要变量的遗漏而错误的拒绝零假设。HSK可能意味着模型设定错误，因此，如果可能的话，应当在HSK检验之前进行模型设定检验。,115,加权最小二乘法,对OLS估计稳健标准差总是能办到的，但是，如果我们知道一些关于异方差结构的信息，我们可以将原模型转化为具有同方差的新模型，这称为加权最小二乘法。在这些情况中，加权最小二乘法比OLS更为有效。对应的t和F统计量具有t和F分布。,116,异方差结构在比例意义上已知的情况,假设异方差可以由模型Var(ui|xi)=s2i=s2hi刻画，其中hi=h(x)只依赖于可观测特征x在这种情况下，定义并考虑转化后的模型是否服从Gauss-Markov假设。,117,广义最小二乘法,通过OLS估计变换后的方程可以作为广义最小二乘法（GLS）的一个例子GLS在这种情形下为BLUEGLS是加权最小二乘法（WLS）在权重为Var(ui|xi)倒数时的特例。,118,加权最小二乘法,尽管对变换后的模型做OLS是直观的，但是变换本身可能很繁琐。加权最小二乘法可以完成相同的目的，但是不需要进行变换。想法是最小化加权平方和（权重为1/hi）,119,关于WLS,如果我们知道Var(ui|xi)的形式，WLS很棒在大多数情况下，我们并不清楚异方差的形式,120,可行GLS,更典型的情形是你并不知道异方差的形式此时，你需要估计h(xi)通常,我们可以从一个非常灵活的方程形式入手Var(u|x)=s2exp(d0+d1x1+dkxk)由于d未知，我们必须对它进行估计。,121,可行GLS(cont),我们的假定意味着u2=s2exp(d0+d1x1+dkxk)v,其中E(v|x)=1.ln(u2)=a0+d1x1+dkxk+e其中E(e)=1且e独立于x现在，我们知道是u的一个估计，所以我们可以通过OLS对其进行估计。,122,可行GLS(cont),对h的估计可以通过=exp()得到，其倒数为我们的权重那么，我们做了什么呢？对原方程做OLS回归，保存残差，平方之，并取自然对数将ln(2)对全部解释变量回归，得到预测值将1/exp()作为权重，做WLS,123,WLS,当在WLS后进行F检验时，通过无约束模型构造权重，并利用此权重做约束模型和无约束模型的WLS回归。记住：我们只是用WLS来提高有效性，OLS仍然是无偏且一致的。由于采样误差的存在，估计值可能不同，但是如果差异很大的话，有可能是因为GaussMarkov假定的其它假定不成立。,124,第十章时间序列初步,125,静态模型,126,FDL模型,127,FDL模型,把d0称作即期乘数反映了y的当期变化对于q阶FDL模型，假定z有一个短期的变化（只有一个时期）,y将在q+1时期回到其初始水平把d0+d1+dq称作长期乘数(LRP)反映了z的一个持久变化对y长期影响,128,无偏性假定,1、仍然假定模型关于参数线性:yt=b0+b1xt1+.+bkxtk+ut2、仍然需要零均值假定:E(ut|X)=0,t=1,2,n注意：这意味着任一特定时期的误差项与所有时期的解释变量都无关,129,假定(continued),这一零均值假定意味着解释