线性代数1——3节详解.ppt

办公地点:理学院B220,线性代数,LinearAlgebra1-1,答疑安排,时间:每周四上午8:30-9:30,教材参考书,教材同济大学.线性代数第5版.北京:高等教育出版社,2007参考书1.杨雪等.线性代数复习指导.天津:天津大学出版社,20082.同济大学.线性代数附册学习辅导与习题全解.北京:高等教育出版社,2007与教材相配套.,关于成绩评定,期末考试5天后，同学们网上所见的是总评成绩.其构成为:平时、期中、期末分别占30%、10%、60%.平时成绩依作业上交及完成情况,上课出勤、课堂提问、随堂测验等情况综合评定.期中考试将于第3章结束后进行.期末考试（第1-5章）计划在(结课一周后)进行，理工类各专业统一考试.,线性代数这门课程是研究什么的“线性代数”是寻求m个n元线性方程组解的求解方法。,当时，需要使用一种工具：行列式当时，需要使用一种工具：矩阵为了使得到的解表达更确切，我们还需要学习一些概念：线性表达和线性空间。看看目录可知：线性代数是矩阵的天下！,目录（前五章）第一章行列式第二章矩阵及其运算第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四章向量组的线性相关性第五章相似矩阵及二次型,第一章行列式,1全排列及其逆序数2二阶与三阶行列式3n阶行列式的定义4对换5行列式的性质6行列式按行(列)展开7克拉默法则,1全排列及其逆序数,一.基本概念,1.全排列：把n个不同的元素排成一列，叫这n个元素的全排列(简称排列).一般地，n个不同的元素共可形成,例：5人站成一排有多少种站法？,种不同的排列,例1.1.1用1、2、3这三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解:共有3!=6个.这6个不同的三位数是：123,132,213,231,312,321对照三阶行列式对角线法则表达式中各项的列标排列:,2.逆序数,标准次序：是规定的，如自然数的由小到大的次序.逆序(顺序):n个不同元素的任一排列中，当某两个元素顺序与标准次序不同(相同)时，称这个排列中有一个逆序(顺序).逆序数(顺序数)：一个排列中所有逆序(顺序)的总数叫做这个排列的逆序数(顺序数)，分别记为t和,奇排列、偶排列：逆序数为奇数的排列叫做奇排列；逆序数为偶数的排列叫做偶排列.,且有,可知:列标是偶排列的乘积项前面赋正号;列标是奇排列的乘积项前面赋负号.,二.逆序数的求法不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序.设为这n个自然数的一个排列.考虑元素如果在该元素的前面有个元素比它大，就说该元素的逆序数为于是，排列的逆序数和为n个元素的逆序数总和,解:3是首个元素,逆序数为0;2的前面有元素3比它大,逆序数为1;5是最大元,逆序数为0;1是最小元,它前面有3个元素,故逆序数为34的前面只有元素5比它大,逆序数为1于是,排列的逆序数为,例1.1.2标准排列1234n的逆序数为0，是一个偶排列.,例1.1.3求排列32514的逆序数.,解:,例1.1.4求排列,的逆序数.,此排列是n个元素的排列中逆序数最大的一个排列.,解:,例1.1.5求排列的逆序数.,例1.1.5求排列的逆序数.解：,课上练习求：排列的逆序数等于_,答案求：排列的逆序数等于_,2二阶与三阶行列式,二元线性方程组与二阶行列式,以下数表都是二阶行列式:,上述二阶行列式按对角线法则各自对应一个数值,称为行列式的值:,一般,二阶行列式有对角线法则:,三元线性方程组与三阶行列式,以下数表都是三阶行列式,按对角线法则各对应一个数值,称为行列式的值:,一般,三阶行列式也有对角线法则:,二阶、三阶行列式对角线法则的共性,2.求代数和的各项，除赋予的符号外，是取自行列式的不同行、不同列的元素之积n阶行列式亦应有此规律；3.乘积项前面赋予的符号为正号和为负号的项各占一半，n阶行列式的求值表达式中赋予正号和负号的项应各有n!/2项.问题:乘积项前面赋予正、负号的具体规律是怎样的？,1.n阶行列式应定义成n!项的代数和；,是2!项的代数和,是3!项的代数和,三阶行列式:,可知：行标都是自然序列1，2，3列标是偶排列的乘积项前面赋正号;列标是奇排列的乘积项前面赋负号.,3n阶行列式的定义,求值表达式的结构特点,是n!项的代数和；求代数和的各项，除赋予的符号外，是取自行列式的不同行、不同列的元素之积；各项前赋予符号的规则:当行标排成标准排列后，列标排列是奇排列的项赋予负号；列标排列是偶排列的项赋予正号.,其中，,是数字1,2,3的任一排列,这样的排列共有3!=6项,而是,对所有这样的6项求和.,类似地，二阶行列式,三阶行列式,n阶行列式的定义,定义1将n2个数排成如下数表，称为n阶行列式：,其中，,是数字1,2,n的任一排列.,(3)对所有这样的赋予了符号的n!项求和.即,可记作,等,它是按如下步骤算得的一个数值：,构造位于行列式不同行不同列的n个元素之积,，共n!项，,(2)各项分别赋予符号,其中,是列标排列的逆序数.,关于n阶行列式的定义补充说明,1.按此定义，当n=1时,一阶行列式,(3)求和,得到,2.对于二阶、三阶行列式，此定义与对角线法则定义显然一致；,3.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，不能用于4阶及更高阶行列式.,例1.3.1求下列4阶行列式的值,(2)各项分别赋予符号,解:(1)构造取自行列式不同行不同列的元素之积,非零的有:,例1.3.2证明n阶对角行列式有如下结论：,几个特殊的n阶行列式的结论,(1)主对角行列式,(2)次(辅)对角行列式,证明：第一式显然,下面只证第二式.记,则依行列式定义有,其中逆序数,(例1.1.4结论),证毕.,例1.3.3证明n阶三角行列式有如下结论：,(1)主对角的上(下)三角行列式,(2)次对角的上(下)三角行列式,注：类似例1.3.2的证明思路容易证得上述结论,留作练习.,例1.3.4分块下三角行列式有如下结论：,特点：分块下三角行列式的左上角、右下角都是方块,右上角是零块.,结论：分块下三角行列式的值等于左上角、右下角的两个方块所形成的两个低阶行列式之积.,例如,下述行列式的计算中,就可以直接应用上例结论求值:,注:行列式的计算更多情况下将用到几类特殊行列式的值的结论及行列式的性质(下次课的研究重点).,例1.3.5写出4阶行列式,解：取自行列式不同行不同列的四个元素之积中，含,(2)上述乘积应赋予的符号：,(3)所求项为：,中含有,的所有项.,的乘积有:,小结1.了解线性代数的内容主要围绕线性方程组的求解而展开;线性方程组的求解与行列式有联系;2.掌握n阶行列式的定义1,以及二阶、三阶行列式的对角线法则;3.记住对角行列