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第八节多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值和最值二、条件极值拉格朗日乘数法三、小结,一、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,偏导数存在的极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,例4求函数,的极值。,解,求解方程组：,得驻点,因此，驻点,因此，驻点,因此，驻点,与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，,偏导数不存在的点也可能是极值点。,例如，显然函数,不存在。,求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,解,令,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为U(x,y)=lnx+lny设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求在条件下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,求解方程组,解出x,y,z,t即得可能极值点的坐标.,解,则,例6求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为x,y，z.体积为V.,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,即,由(2),(1)及(3),(2)得,由(2),(1)及(3),(2)得,于是，,代入条件，得,解得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，,所以，,最大值就在此点处取得。,故，最大值,最大值一定存在，,解,则,由(1)，(2)得,由(1)，(3)得,将(5)，(6)代入(4)：,于是，得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，最大值一定存在，,所以，,最大值就在这个可能的极值点处取得。,故，最大值,多元函数的极值,拉格朗
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