矩形经典例题

（一）计算1已知矩形的对角线长为1，两条相邻边之和为m，求矩形的面积解析：依题设画出示意图，由矩形性质： 又 由有 评述1 矩形作为特殊的平行四边形其最特殊之处在于4个内角均为90，稍加连结，则会出现Rt，借助勾股定理，矩形中只要知道一些条件、面积、边长等皆可计算评述2 此处兼顾考查了整式运算技巧，这里算法误区是没有考虑整体计算，而去解方程组2在矩形ABCD中，AEBD于E，CFBD于F，BE=1，EF=2，求矩形面积解析：依题设画出图形，对照图形确认题设条件似乎计算面积的条件不具备，怎么办？深入挖矩形性质，矩形整体是一个轴对称图形，DF=BE=1，BD = 4连结AC交BD于O，则易知：OA=OB=2，又有BE=OE=1，又 AEBO，可知ABO为正三角形， AB=OB=2， 3在矩形ABCD中，两条对角线小于0，DE平分ADC，E点在BC上，EDO=15求COB，AOE的度数解析：依题设，画出示意图 由DE平分ADC，知EDC=45，又EDO=15 又由矩形ABCD知OD=OC ODC为正三角形，即OC=OD=CD DOC=60， COB=120 EDC=45，DCE=90 CE=CD CO=CE 进而可知COE=75 AOE=105评述：学习四边形的另一个任务应是融会贯通前面所学的几何知识、几何方法（二）特殊关系论证3已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F是DE的中点，试确定线段AF与CF的位置关系 解析：结合图示可以猜想AFCF 证明两线垂直，我们都有过什么想法？盘点盘点： ， 法一：连结BF，因BFE=90，证AFC=BFE进而考虑证AFCBFE提示：因CF为RtDCE斜边上中线，故CF=EF=FD 易证FADFBC，有FB=FA 进而可证明AFCBFE（SSS） 又由BF为等腰BED底边上中线有BFDE所以AFCF法二：“倍长中线” 延长AF交BC延长线于G， 连结AC ，易证ADFGEF，AD=GE，BC+CE=GE，即， 易证CAG为等腰三角形CA=CG，F为底边AG中点CF为AG边上的高. 另：对称地思考，同法可延长CF交AD延长线于H 证A为等腰三角形，利用另一方向的三线合一法三：利用“若三角形一边上的中线长等于这边长的一半，则该三角形为Rt” 连结AC，设AC交BD于O，连结FO，易知FO为DEB中位线 从而 又BE=BD=AC，进而有OF=OA=OC， 利用等边对等角和三角形内角和定理易证AFC=90评述：学习矩形后一个新性质很有用，就是：4已知：如图，矩形ABCD中，CFBD，AE平分BAD和FC的延长线交于E点求证：AC=CE解析：证AC=CE，两线共端点居于CAE中，可考虑用“等角对等边”证1=E 考虑此处可能需倒许多角，设1=，尽可能多用表示相关的角法一：依题设可知OAB=OBA-BAE=BGA=45 故有OAB=OBA=45+ FOC=AOB=90-2 而FCO=90-FOC FCO=2 又FCO=1+E E=法二：由CFBD可知BCF=BDC=OBA=45+ 又CGE=45，BCF=CGE+E，所以可知E=评述：1此题还有许多可以倒角的方法；2这里亦可通过延长DC交GE于H，通过证CHECGA来解决问题，有兴趣均可一试；3特殊四边形由于其特殊性可以使许多边角产生关联，学习中要注意多发散多思考体会。5如图，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，点P为AB上任一点，过P分别作PEAC于E，PFBC于F，则线段EF的最小值是多少？解析：易知四边形PECF为矩形，故EF=CP CP最小，则EF最小，过C作CPAB于P CP的长即为所求易知，6如图，P是矩形内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，求PD的长解析：审图后，似乎这三条已知的线段与所求之间没有关联，故需变换位置或添辅助线法一：沿AD平移PAB到，连结，可知四边形中两条对角线互相垂直 故有（能知道为什么吗？） 进而解得法二：过P作直线EFAD交AD于E交BC于F，可设AE=x，进而用x表示PEPF、FC， 再由RtPED布列勾股方法得解（三）折叠问题7如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形对角BD折叠，那么图中阴影部分的面积是_解析：该阴影三角形面积都可怎么算较简捷算法有： 无论从哪个角度切入均需知道AF、DF的长 依题设可证明ABFEDF 从而AF=FE，BF=FD 设AF=x，则BF=4-x， 由，有 评述：折叠问题的实质是轴对称，解题时首先要知道哪些量对应相等8已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使点B、D重合，求折痕EF的长解析：计算EF，目前在几何图形中计算长度我们都有什么方