整数规划及分支定界法ppt课件VIP

.,1,第三章整数规划,.,2,3-1整数规划问题整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划，可分成线性和非线性两类。根据变量的取值性质，又可以分为全整数规划，混合整数规划，0-1整数规划等。,.,3,整数规划是数学规划中一个较弱的分支，目前只能解中等规模的线性整数规划问题，而非线性整数规划问题，还没有好的办法。,.,4,例3-1：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有：食品，氧气，冰镐，绳索，帐篷，照相机和通讯设备，每种物品的重要性系数和重量如下：假定登山队员可携带最大重量为25公斤。,.,5,.,6,解：如果令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登山队员不携带物品i，则问题表示成0-1规划:MaxZ=20 x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10 x7s.t.5x1+5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x725xi=1或xi=0i=1,2,.7,.,7,例3-2背包问题(KnapsackProblem)一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要在背包内装一些最有用的东西,但有个数限制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了一个“价值”以表示其有用的程度,如果共有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为cj.问题变成:在携带的物品总重量不超过b公斤条件下,携带哪些物品,可使总价值最大?,.,8,解：如果令xj=1表示携带物品j，xj=0表示不携带物品j，则问题表示成0-1规划:MaxZ=cjxjs.t.ajxjbxj=0或1,.,9,数学模型整数规划(IP)的一般数学模型:Max(min)Z=cjxjs.t.aijxjbi(i=1,2,m)xj0且部分或全部是整数,.,10,解法概述当人们开始接触整数规划问题时，常会有如下两种初始想法：因为可行方案数目有限，因此经过一一比较后，总能求出最好方案，例如，背包问题充其量有2n-1种方式；连线问题充其量有n!种方式；实际上这种方法是不可行。,.,11,设想计算机每秒能比较1000000个方式，那么要比较完20!（大于2*1018）种方式，大约需要800年。比较完260种方式，大约需要360世纪。,.,12,先放弃变量的整数性要求，解一个线性规划问题，然后用“四舍五入”法取整数解，这种方法，只有在变量的取值很大时，才有成功的可能性，而当变量的取值较小时，特别是0-1规划时，往往不能成功。,.,13,例3-3求下列问题：MaxZ=3x1+13x2s.t.2x1+9x24011x1-8x282x1,x20,且取整数值,.,14,O12345678910,54321,x1,x2,I(2,4),B(9.2,2.4),A,D,可行域OABD内整数点，放弃整数要求后，最优解B(9.2,2.4)Z0=58.8，而原整数规划最优解I(2,4)Z0=58，实际上B附近四个整点(9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都不是原规划最优解。,.,15,O12345678910,54321,x1,x2,I(2,4),B(9.2,2.4),A,D,假如能求出可行域的“整点凸包”（包含所有整点的最小多边形OEFGHIJ），则可在此凸包上求线性规划的解，即为原问题的解。但求“整点凸包”十分困难。,E,F,G,H,I,J,.,16,O12345678910,54321,x1,x2,I(2,4),B(9.2,2.4),A,D,假如把可行域分解成五个互不相交的子问题P1P2P3P4P5之和,P3P5的定义域都是空集,而放弃整数要求后P1最优解I(2,4),Z1=58P2最优解(6,3),Z2=57P4最优解(98/11,2),Z4=52(8/11),P1,P2,P4,.,17,X12,X16,X23,X22,X13,X17,X24,X23,P1,P5,P4,P2,P3,P,.,18,假如放弃整数要求后，用单纯形法求得最优解，恰好满足整数性要求，则此解也是原整数规划的最优解。以上描述了目前解整数规划问题的两种基本途径。,.,19,分枝定界解法（BranchandBoundMethod)原问题的松驰问题：任何整数规划（IP），凡放弃某些约束条件（如整数要求）后，所得到的问题（P）都称为（IP）的松驰问题。,.,20,最通常的松驰问题是放弃变量的整数性要求后，（P）为线性规划问题。,.,21,分枝定界法步骤一般求解对应的松驰问题，可能会出现下面几种情况：若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束。若松驰问题无可行解，则原整数规划问题也无可行解，计算结束。,.,22,若松驰问题有最优解，但其各分量不全是整数，则这个解不是原整数规划的最优解，转下一步。从不满足整数条件的基变量中任选一个xl进行分枝，它必须满足xlxl或xlxl+1中的一个，把这两个约束条件加进原问题中，形成两个互不相容的子问题（两分法）。,.,23,定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（max）（下(min)）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个分枝都查清为止。,.,24,例5-6用分枝定界法求解：MaxZ=4x1+3x2s.t.3x1+4x2124x1+2x29x1,x20且为整数用单纯形法可解得相应的松驰问题的最优解（6/5，21/10），Z=111/10为各分枝的上界。,.,25,01234,4321,x1,x2,分枝：X11,x12,P1,P2,.,26,两个子问题：（P1）MaxZ=4x1+3x2s.t.3x1+4x2124x1+2x29x1,x20，x11，整数用单纯形法可解得相应的（P1）的最优解（1，9/4）Z=10(3/4),.,27,（P2）MaxZ=4x1+3x2s.t.3x1+4x2124x1+2x29x1,x20，x12，整数用单纯形法可解得相应的（P2）的最优解（2，1/2）Z=9(1/2),.,28,01234,4321,x1,x2,再对（P1）分枝：X11（P3）x22（P4）x23,P1,P2,P3,P4,.,29,（P1）两个子问题：（P3）MaxZ=4x1+3x2s.t.3x1+4x2124x1+2x29x1,x20,x11,x22整数用单纯形法可解得相应的（P3）的最优解（1，2）Z=10,.,30,（P1）两个子问题：（P4）MaxZ=4x1+3x2s.t.3x1+4x2124x1+2x29x1,x20,x11,x23整数用单纯形法可解得相应的（P4）的最优解（0，3）Z=9,.,31,X12,X22,X11,X23,P1:(1,9/4)Z=10(3/4),P4:(0,3)Z=9,P2:(2,1/2)Z=9(1/2),P3:(1,2)Z=10,P:(6/5,21/10)Z=111/10,原问题的最优解（1，2）Z=10,.,32,例5-7用分枝定界法求解：MinZ=x1+4x2s.t.2x1+x28x1+2x26x1,x20且取整数用单纯形法可解得相应的松驰问题的最优解（10/3，4/3），Z=26/3为各分枝的下界。,.,33,0123456,87654321,x1,x2,p,.,34,0123456,87654321,x1,x2,p,选x1进行分枝：(P1)x13(P2)x14为空集,P1,.,35,（P1）MinZ=x1+4x2s.t.2x1+x28x1+2x26x1,x20，x13整数用单纯形法可解得（P1）的最优解（3，3/2）Z=9,.,36,（P2）MinZ=x1+4x2s.t.2x1+x28x1+2x26x1,x20 x14整数无可行解。,.,37,0123456,87654321,x1,x2,p,对(P1)x13选x2进行分枝：(P3)x21无可行解(P4)x22,P4,.,38,（P3）MinZ=x1+4x2s.t.2x1+x28x1+2x26x1,x20，x13，x21整数无可行解。,.,39,（