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第二节,可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程,第九章,二、一阶线性微分方程,一、可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,类型1.,求解法：,变量分离,可以验证:(1.3)式为微分方程(1.1)的(隐式)通解.,注若题目只需求通解，则不必讨论,例1,求微分方程,解,分离变量,两端积分,C,例2,求微分方程,解,为所求通解.,解,例3,例4,x,解,二、一阶线性微分方程,类型2.,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,一阶线性微分方程,齐次线性方程的通解为：,1齐次线性方程：,求解法:,分离变量：,1.常数变易法,2非齐次线性方程：,作变换,可分离变量方程,积分得,一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为:,2.常数变易公式,1(2.1)的解的结构,非齐次线性方程(2.1)的特解,对应齐次线性方程(2.2)的通解,解,例5,通解：,例6,解,例7,解,通解为,x,例8,解,关于x为线性方程,通解：,解,例9,(方法1),一阶非齐次线性方程,(方法2),可分离变量方程,1分离变量;,2两端积分-隐式通解；,内容小结,1.可分离变量方程的求解步骤:,3根据定解条件定常数.,2.一阶线性方程,方法1先解齐次线性方程,再用常数变易法；,方法2用常数变易（通解）公式,思考题,求微分方程的通解.,思考题解答,解,这是可分离变量方程,两边积分,得,从而,分离变量得,备用题例1-1,由于y=0也是方程的解,因此,所给方程的通解为,其中
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