三角形外接圆与内切圆半径求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知：在ABC中，AB13，BC12，AC5求ABC的外接圆的半径.解：AB13，BC12，AC5，AB2BC2AC2，C90，AB为ABC的外接圆的直径，ABC的外接圆的半径为6.5.2、一般三角形已知一角和它的对边例2如图，在ABC 中，AB10，C100，求ABC外接圆O的半径.（用三角函数表示）分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.解：作直径BD，连结AD.则D180C80，BAD90BDABC外接圆O的半径为.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图，已知，在ABC 中，AB10，A70，B50求ABC外接圆O的半径.分析：可转化为的情形解题.解：作直径AD，连结BD.则DC180CABBAC60，DBA90ADABC外接圆O的半径为.已知两边夹一角例4如图，已知，在ABC 中，AC2，BC3，C60求ABC外接圆O的半径.分析：考虑求出AB，然后转化为的情形解题.解：作直径AD，连结BD.作AEBC，垂足为E.则DBA90，DC60，CEAC1，AE，BEBCCE2，ABADABC外接圆O的半径为.已知三边例5如图，已知，在ABC 中，AC13，BC14，AB15求ABC外接圆O的半径.分析：作出直径AD，构造RtABD.只要求出ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.解：作直径AD，连结BD.作AEBC，垂足为E.则DBACEA90，DCADBACE 设CEx, AC2-CE2AE2AB2-BE2 132-x2152-(14-x)2 x=5,即CE5AE12 AD ABC外接圆O的半径为.二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例6已知：在ABC 中，C90，ACb，BCa，ABc求ABC外接圆O的半径.解：可证四边形ODCE为正方形.设O的半径为r，则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r， (a-r)+(b-r)=c, r=,即ABC外接圆O的半径为.2、一般三角形已知三边例7已知：如图，在ABC 中，AC13，BC14，AB15求ABC内切圆O的半径r.分析：考虑先求出ABC的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：利用例5的方法，或利用海伦公式S(其中s=)可求出SABC84，从而ABr+BCr+ACr=84, r=4已知两边夹一角例8已知：如图，在ABC 中，cotB,AB5，BC6求ABC内切圆O的半径r.分析：考虑先通过解三角形，求出ABC的面积及AC的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作ABC的高AD.解直角三角形可得AD3，CD2，AC，因为ABr+BCr+ACr=BCAD, 可求得r=已知两角夹一边例9已知：如图，在ABC 中，B60，C45,BC6求ABC内切圆O的半径r.(精确到