一维波动方程ppt课件

2一维波动方程,1,偏微分方程教程第四章双曲型方程,2一维波动方程,2,偏微分方程教程第四章双曲型方程,2一维波动方程,2.1.齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法,最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题,在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题(2.1)满足初始条件(2.2)其中是一个正常数，函数是定义在区间上的已知函数.,2一维波动方程,3,特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，这个方法的实质是将方程沿特征线积分.由第三章的特征概念知,方程(2.1)的特征方程是由此求得特征曲线为其中为任意常数.为了将方程(2.1)化成第一标准型,引入自变量变换即把特征线当作坐标线，则方程(2.1)变成(2.3),偏微分方程教程第四章双曲型方程,2一维波动方程,4,偏微分方程教程第四章双曲型方程,改写(2.3)为可以看出不依赖于变量,于是有其中是的任意连续可微函数,再对积分,得到若令,可得其中和都是任意的二阶连续可微函数.回到原来的变量和,于是波动方程(2.1)的通解为(2.4),2一维波动方程,5,偏微分方程教程第四章双曲型方程,现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数和,由等式(2.4)有对等式(2.6)积分,得出其中是任意常数.由等式(2.5)和(2.7)解出和为代入(2.4),我们得到这个公式称为Cauchy问题的达朗贝尔(DAlembert)公式.,(2.5),(2.6),(2.7),2一维波动方程,6,偏微分方程教程第四章双曲型方程,到目前为止,表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1),(2.2)的形式解.为了使它确实是Cauchy问题(2.1),(2.2)的解,我们需要对初值加上一定的条件.定理4.3若,则由DAlembert公式(2.8)表示的函数是Cauchy问题(2.1),(2.2)解.证明留作习题，请读者自己完成.下面我们讨论Cauchy问题(2.1),(2.2)解的稳定性.,定理4.4假设对任意给定的,总可找到这样的,当初始数据与满足不等式时,则与之相对应的Cauchy问题的解与满足,2一维波动方程,7,偏微分方程教程第四章双曲型方程,证:只要取即可.综上所述，Cauchy问题(2.1),(2.2)的解是适定的.另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式且令,则可以得到如下一阶线性偏微分方程组(2.9)按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得DAlembert公式(2.8).,2一维波动方程,8,偏微分方程教程第四章双曲型方程,上面对弦振动方程求解的特征线法,亦适用于类似方程的Cauchy问题.,例1求解Cauchy问题(2.10)其中和都是已知函数.解:容易求出(2.10)中的方程的特征曲线作自变量变换,2一维波动方程,9,偏微分方程教程第四章双曲型方程,就可把(2.10)中的方程化成标准型为了求出方程(2.11)的通解,我们令则方程(2.11)化为若把看作参数,方程(2.13)就是以为自变量的线性常微分方程,其通解可写为其中是的任意函数.将此表达式代入方程(2.12),得,(2.13),(2.11),(2.12),2一维波动方程,10,偏微分方程教程第四章双曲型方程,再对求积分,便得方程(2.11)的通解其中是的任意函数.若令,上式可写成其中和都是其变元的任意连续可微函数.变回到原来的变量和,便得到方程(2.10)的通解为,(2.14),下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数和.首先,容易得到下面两个等式：(2.15),2一维波动方程,11,偏微分方程教程第四章双曲型方程,对微分(2.15),得用乘以上式再与(2.16)相加,得由此推得其中为任意常数.再将的表达式代入(2.15),得,(2.16),2一维波动方程,12,偏微分方程教程第四章双曲型方程,