机器人学第三章ppt课件

精选,1,3刚体位姿描述和齐次变换,在研究机器人运动学时，常常涉及到物体在空间的位置和姿态，这里所指的物体包括机器人的连杆、工具和工件等等。为了描述物体的位姿，首先要建立参考坐标系（ReferenceCoordinateSystem或FixedFrame）。参考坐标系一般设置为直角坐标系，特殊情况下也可以采用其他坐标系。,精选,2,3.1刚体位姿描述3.1.1位置的描述（位置矢量）,精选,3,在运动学中，可以认为物体是刚体。如图，设置参考坐标系OXYZ，在刚体上建立附体直角坐标系QUVW（称为运动坐标系MovingFrame）在直角坐标系中，一个点的位置可以用31位置矢量来表示。如点P的位置可以写成,精选,4,在涉及到多个坐标系时，为了注明是在哪一个坐标系中，可以利用左上标表示，如表示该矢量是在坐标系A中定义的。,精选,5,3.1.2姿态（方位）的描述（旋转矩阵）,为了规定空间某刚体B的方位，在刚体上固联一直角坐标系B，用坐标系B的三个单位主矢量、相对于坐标系A的方向余弦组成的33矩阵或,精选,6,来表示刚体B相对于参考坐标系A的方位或姿态。称为旋转矩阵。当相对关系明确时，可以去掉左侧的上下标。旋转矩阵是正交矩阵，其9个元素中只有三个是独立的。绕x轴、y轴、z轴旋转角的旋转矩阵分别为,精选,7,精选,8,3.1.3位姿的描述为了描述刚体B在空间的位置和姿态，通常将表示姿态的坐标系B固联在刚体B上，其原点选择有特征的点，如质心或某一顶点、中点等。坐标系B的原点在参考坐标系A的位置矢量称为刚体B在参考坐标系中的位置，坐标系B在参考坐标系中的姿态矩阵称为刚体在参考坐标系中的姿态。可以写成,精选,9,3.2坐标变换（CoordinateTransformation）,空间中一点在不同的坐标系中的描述是不同的。为了在不同坐标系中正确地描述同一点，就需要采用坐标变换。3.2.1坐标平移变换设坐标系B与A具有相同的方位，但原点不重合，坐标系B在参考坐标系A中的位置矢量为，点p在B中的位置矢量为，则它相对于参考坐标系A的位置矢量为,精选,10,精选,11,3.2.2坐标旋转变换,精选,12,设坐标系B与A具有共同的原点，但两者的方位不同，点p在坐标系B中的位置矢量为，则该点在参考坐标系A中的位置矢量为式中为坐标系B相对于坐标系A的姿态矩阵，或称旋转矩阵。,精选,13,3.3齐次坐标和齐次变换,3.3.1点的齐次坐标三维空间中某点的坐标可以写成则该点的齐次坐标为其中w是一不为0的数。,精选,14,齐次坐标是用四个坐标值表示三维空间中的点当w变化时，该式表示三维空间中一系列点的集合，所有点都位于坐标系原点和p点的连线上，当w等于无穷大时，表示原点；当w等于0时，表示无穷远处的点，代表一个方向。一般用，表示x,y,z三个坐标轴的方向，而用表示原点。,精选,15,3.3.2齐次变换矩阵（HomogeneousTransformationMatrix）所谓齐次变换矩阵是一44矩阵，是由姿态矩阵和位置矩阵合成的，具体合成形式如下：左上角33矩阵为姿态矩阵；右上角31矩阵为位置矩阵。齐次变换矩阵可以将刚体的位置和姿态用一个矩阵表达。,精选,16,齐次变换矩阵的用途例1点的旋转：参考坐标系中有一点求该点绕z轴旋转90后的新位置。解：绕z轴旋转90的齐次变换矩阵为,精选,17,旋转后的新位置为例2点的平移：将上例中的p点沿x轴平移3个单位，沿y轴平移5个单位，沿z轴平移7个单位，求平移后点的新坐标。解：本例中的齐次变换矩阵为,精选,18,平移后的新位置为例3例1中的点p首先绕z轴旋转90,然后平移3,5,7个单位。解：作上述旋转平移的齐次变换矩阵为,精选,19,变换后点的新位置为本例中，如果先平移，后旋转，结果又如何？,精选,20,3.3.3齐次变换矩阵的运算通过上述例子可以看出，平移变换和旋转变换都可以通过齐次变换矩阵来实现。平移齐次变换矩阵,精选,21,旋转齐次变换矩阵,精选,22,当连续进行多次变换时，其变换结果是几个变换矩阵的乘积。当变换相对于固定坐标系（即参考坐标系）时，按变换顺序将矩阵左乘；当变换相对于运动坐标系（即新坐标系）时，按变换顺序将矩阵右乘。,精选,23,例3.4某一坐标系O1UVW变换前与参考坐标系重合，首先将其绕X轴旋转90，然后将其平移5，3，7，1T；求变换后的新位姿。解：变换前运动坐标系与参考系重合，所以其位姿矩阵为,精选,24,由于变换是相对于参考系进行，所以变换后新坐标系的位姿为,精选,25,例3.5上例中，如果变换均相对于运动坐标系进行，求变换后的新位姿。解：由于变换相对于运动坐标系进行，,精选,26,3.3.4齐次变换矩阵的逆矩阵齐次变换矩阵由于其本身的特点，其逆矩阵的求法比较简单。则其逆矩阵为,精选,27,3.4姿态的表示方法前述用33旋转矩阵表示刚体（运动坐标系）的姿态，由于该矩阵的正交性，其9个元素中只有3个是独立的。下面介绍RPY姿态表示法和欧拉角姿态表示法。,精选,28,3.4.1RPY表示法RPY角是描述船舶在海中航行时姿态的一种方法。如图，将绕z轴的旋转称为回转（Roll），将绕y轴的旋转称为俯仰（Pitch），将绕x轴的旋转称为偏转（Yaw）。操作臂手爪姿态的规定如此相似，沿手指向外为z轴，两手指连线的方向为y轴，x轴按右手定则确定。,精选,29,精选,30,采用RPY方法描述手爪姿态的规则如下：将手爪坐标系首先绕x轴转动角，然后绕y轴转动角，最后绕z轴转动角。而且每次转动都是相对于参考系进行的。,精选,31,由于每次转动都是相对于参考系进行的，按照矩阵左乘的规则，则获得的姿态矩阵为,精选,32,其中，依此类推。现在讨论姿态的逆问题（RPY的逆解），即当位姿矩阵已知时，求，角度应为多少，令,精选,33,当时，可得当时，则逆解出现退化，只能求出与的和或差，此时可设定值，例如令0，从而解出值。,精选,34,3.4.2z-y-x欧拉角此时姿态变换规则如下：首先绕运动坐标系z轴转动角，然后绕旋转后的y轴转动角，最后绕再次旋转后的x轴转动角。,精选,35,精选,36,由于此时变换是相对于运动坐标系进行的，所以矩阵